Физические величины и их измерения (стр. 2 из 4)
По принадлежности к различным группам физических процессов ФВ делятся на пространственно-временные, механические, электрические и магнитные, тепловые, акустические, световые, физико-химические, ионизирующих излучений, атомной и ядерной физики.
Рис. 2. Классификации физических величин
По степени условной независимости от других величин данной группы все ФВ делятся на основные (условно независимые), производные (условно зависимые) и дополнительные. В настоящее время в системе СИ используются семь физических величин, выбранных в качестве основных: длина, время, масса, температура, сила электрического тока, сила света и количество вещества. К дополнительным ФВ относятся плоский и телесный углы. По наличию размерности ФВ делятся на размерные, т.е. имеющие размерность, и безразмерные.
1.2 Метрическая система мер
Отсутствие рациональных обоснований при выборе единиц ФВ привело к их большому разнообразию не только в разных странах, но даже в разных местностях одной страны. Это создавало большие трудности, особенно в международных отношениях. Возникла метрическая система мер, т.е. совокупность единиц ФВ, рекомендованных вместо применявшихся ранее.
Были приняты единицы: длины – метр (м), массы – килограмм (кг), объема – литр (л), времени - секунда (с).
Были также введены десятичные кратные и дольные единицы ФВ, т. е. единицы ФВ, в 10 в целой степени раз большие и меньшие, и установлены простые правила присвоения наименований кратным и дольным единицам ФВ применением приставок: кило, гекто, дека, деци, санти и милли [например, сантиметр (см), миллиметр (мм), декалитр (дал) и т. п.]
Это давало единицам метрической системы (метрическим единицам ФВ) существенное преимущество перед существовавшими в то время другими. Кроме того, метрические единицы ФВ позволяли не применять составные именованные числа (например, длина 8 саженей 3 фута 5 дюймов) и значительно облегчали расчеты.
1.3 Системы единиц физических величин
Построение единиц и систем единиц. Раньше единицы различных ФВ устанавливались, как правило, независимо друг от друга. Исключениями были лишь единицы длины, площади и объема. Основной особенностью современных единиц ФВ является то, что между ними устанавливают зависимости. При этом произвольно выбирают несколько основных единиц ФВ, а все остальные — производные единицы ФВ получают при помощи зависимостей (законов и определений), связывающих различные ФВ, т.е. определяющих уравнений.
Физические величины, единицы которых приняты в качестве основных, называются основными ФВ, а единицы которых являются производными, называются производными ФВ.
Совокупность основных и производных единиц ФВ, охватывающая все или некоторые области физики, называется системой единиц ФВ.
Рассмотрим примеры установления производных единиц ФВ при выбранных в качестве основных ФВ длины L, массы М и времени Т, т.е. при выбранных основных единицах ФВ [L], [М] и [Т].
Пример 1. Установление единицы площади. Выберем какую-либо простую геометрическую фигуру, например круг. Размер площади s круга пропорционален второй степени размера его диаметра d: s = kSd2, где kS — коэффициент пропорциональности. Это уравнение и возьмем в качестве определяющего. Положив размер диаметра круга равным единице длины, т. е. d = [L], получим [s] = kS [L]2. Выбор коэффициента пропорциональности kS произволен Пусть kS = l, тогда [s] = [L]2, т. е. за единицу площади выбрана площадь круга, диаметр которого равен единице длины. Если [L] = 1 м, то [s] = 1 м2. Площадь круга в этом случае нужно вычислять по формуле s = d2, а площадь квадрата со стороной b — по формуле s = (4/p)b2.
Обычно вместо такой круглой единицы площади применяют более удобную квадратную единицу, представляющую собой площадь квадрата со стороной, равной единице длины.
Если бы при установлении круглой единицы площади было принято kS = p/4, то она совпала бы с обычной квадратной единицей.
Пример 2. Установление единицы скорости. В качестве определяющего примем уравнение, показывающее, что размер скорости и равномерного движения тем больше, чем больше размер l пройденного пути и чем меньше размер затраченного на этот путь времени Т:
u = ku (l/T),
где ku — коэффициент пропорциональности.
Полагая l = [L], Т = [Т], получаем единицу скорости [u]=ku 
ku [L] [T]-1. Если из соображений удобства положим ku= l, то единица скорости будет [u] = [L] [T]-1. При [L] = 1 ми [Т] = 1с согласно последней формуле [u] = 1 м/с.
Пример 3. Установление единицы ускорения. В качестве определяющего уравнения возьмем определение ускорения как производную скорости по времени: a = du/dT. Полагая du = [u], dT = [Т], получаем единицу ускорения: [а] =
При [L] = 1 м и [Т] = 1с [а] = 1 м/с2.Пример 4. Установление единицы силы. Выберем в качестве определяющего уравнение закона всемирного тяготения
f =
где m1 и m2 — размеры масс тел;r – размер расстояния между центрами этих масс;
kf - коэффициент пропорциональности.
Полагая m1 = m2 [М], r = [L], получаем единицу силы
или при kf =1 [f] = [M]2 [L]-2. При [L] = 1 м и [М] = 1 кг согласно последней формуле [f] = 1 кг2/м2.
Выбирая в качестве определяющего уравнение второго закона Ньютона f = = kfma, получаем аналогично предыдущему единицу силы в виде [f] = kf [M] * [а] = kf [М] [L] [Т]-2, или в виде [f] = [М] [L] [Т]-2. При [М] = 1 кг, [L] = 1 м и [Т] = 1с согласно последней формуле [f] = 1 кг м/с2.
Обе полученные единицы силы равноправны, однако вторая широко распространена, а первая употребляется редко (преимущественно в астрономии).
Из рассмотренных примеров видно, что при выбранных основных ФВ — длине L, массе М и времени Т, производная единица [х] некоторой ФВ х находится через единицы [L], [М] и [Т] по формуле:
[x] = kx [L]pL [M]pM [T]pT,
где kx – произвольно выбираемый коэффициент пропорциональности;
pL, рМ и рТ – положительные или отрицательные числа.
Эти числа показывают, как изменяется производная единица ФВ с изменением основной. Например, с изменением основной единицы [L] в q раз производная единица [х] изменится в qpL раз. Так как kx при этом на изменение [х] не влияет, то характер изменения единицы [х] с изменением единиц [L], [М] и [Т] выражают обычно при помощи формул размерности, в которых kx = 1. В рассматриваемом случае формула размерности имеет вид
dimx = LpLMpLTpT,
где правая часть называется размерностью единицы ФВ; левая часть – обозначение этой размерности (dimension);
pL, рМ и рТ – показатели размерности.
Из формулы размерности видно так же, как изменяется размер производной ФВ с изменением размера основной ФВ при выбранном определяющем уравнении. Правую часть этой формулы называют и размерностью ФВ.
Рассмотрим общий случай, когда имеется несколько основных ФВ А, В, С, D, ..., единицы которых [А], [В], [С], [D], ..... Тогда, очевидно, установление производной единицы ФВ х сведется к выбору какого-либо определяющего уравнения, связывающего х с другими (основными и производными) ФВ, к приведению этого уравнения к виду:
х = kx ApA BpB CpCDpD…,
где рA, рB, рC, pD, ... — показатели размерности, и к замене основных ФВ их единицами:
[x] = kx [A]pA [B]pB [C]pC [D]pD…
Формула размерности в этом случае будет иметь вид:
dim x = ApA BpB CpC DpD…
Известно, что производная единица ФВ х обладает размерностью рА относительно основной единицы ФВ А, размерностью рB относительно основной единицы ФВ В и т.д. (или что производная ФВ обладает размерностью рА относительно основной ФВ А, размерностью рB относительно основной ФВ В и т. д.). Так, рассмотрев размерность скорости (пример 2) LT-1, или L1M0T-1, можно сказать, что скорость обладает размерностью 1 относительно длины, нулевой размерностью относительно массы и размерностью -1 относительно времени (единица скорости обладает размерностью 1 относительно единицы длины и т.д.).
Если рА = рB= рC = рD = … = 0, то производная ФВ х называется безразмерной ФВ, а ее единица [х] – безразмерной единицей ФВ*.
Примером безразмерной производной единицы ФВ может служить единица [φ] плоского угла φ – радиан. При установлении этой единицы в качестве определяющего принято уравнение φ = = kφ (l/r), показывающее, что размер угла φ тем больше, чем больше размер длины l, стягивающей его дуги и чем меньше размер длины r радиуса этой дуги. В уравнении принято kφ = 1, l = [L], r= [L]. Следовательно [φ] =
= [L]0 и dim φ = L0.Если при установлении производной единицы ФВ в ее выражении через основные единицы ФВ полагают kx = 1, то она называется когерентной производной единицей ФВ. Система единиц ФВ, все производные единицы которой когерентны, называется когерентной системой единиц ФВ.
Размерности производных единиц ФВ х, у и z связаны между собой следующим образом. Если z = k1xy, то
dimz — dimх * dimу. (1.2)
Если z = k2 
, то
dimz — dimх/dimу. (1.3)
Если z = k3xn, то