Фізика напівпровідників (стр. 16 из 25)

При забудові електронами шарів і оболонок, крім принципу Паулі, необхідно врахувати принцип мінімальності енергії. Це означає, що забудова починається з шарів і оболонок, де енергія електронів найменша. У воднеподібних атомах енергія електрона залежить лише від головного квантового числа n. В складних атомах на окремий електрон діє поле не тільки ядра, але і решти електронів. Це приводить до того, що виродження по

знімається, і енергія починає залежати як від n, так і від . Але, як правило, залежність від nсильніша. І тому заповнення починається з глибоких шарів. Наприклад, електронна конфігурація атома міді має наступний вигляд (цифри над символами вказують на кількість електронів в оболонках): 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 3d10 4s1. Видно, що оболонки шарів K, L, Mповністю заповнені, і лише оболонка 4sзаповнена частково. Відмітимо, що повні моменти імпульсів як орбітального, так і спінового рухів електронів заповнених оболонок рівні нулю. І тому стан атома визначається електронами частково заповненої оболонки; такі електрони називаються валентними. В нашому прикладі атом міді має один валентний електрон в s-стані. Саме валентні електрони забезпечують хімічний зв’язок між атомами в молекулах і в кристалічній гратці твердих тіл. Вони відповідальні за спектри випромінювання та поглинання атомів.

Зрозуміло, що переходи між енергетичними рівнями повністю заповнених шарів і оболонок неможливі. Але така можливість з’являється, якщо певним чином вибити електрон з глибокого шару, наприклад, при бомбардуванні металічного анода (антикатода) рентгенівської трубки швидкими електронами. В цьому випадку на вакантне місце глибокого шару може перейти електрон вищого шару. При такому переході випромінюється фотон з енергією

, у відповідності з енергетичною діаграмою (мал.6.7), на якій кожен шар зображений одним енергетичним рівнем. (В дійсності всі шари, крім К-шару, володіють декількома близькими рівнями, бо енергія залежить як від головного квантового числа n, так і від орбітального квантового числа ).

Оскільки відстань між енергетичними рівнями глибоких шарів дуже велика (

, то довжини хвиль випромінюваних фотонів , що відповідає рентгенівському діапазону. Зрозуміло, що спектр такого випромінювання, яке називають характеристичним, – дискретний. Спектральні лінії характеристичного рентгенівського випромінювання групуються в серії: K, L, М, N – серії. Наприклад, К-серія формується при переході електронів на вакантне місце в К-шари (n1=1) з шарів L, M, N, …(n2=2, 3, 4, …) – відповідно: – лінії. Довжини хвиль спектральних ліній в серіях описуються формулою Мозлі

, (6.39)

де R – постійна Рідберга (§ 6.1),

– постійна екранування ( для К-серії). Ця формула переходить у формулу Бальмера (6.6), якщо покласти . Постійна екранування враховує цю обставину, що “випромінюючий” електрон перебуває не тільки в кулонівському полі ядра, як це мало місце у воднеподібних атомах, але і в екрануючому полі інших електронів складних атомів.

§ 6.8. Теплові коливання кристалічної гратки і теплоємність твердих тіл

Більшість твердих тіл володіють кристалічною структурою, тобто є сукупністю великого числа атомів, впорядковано розміщених в просторі, і які тим самим утворюють кристалічну гратку. Оскільки атоми, що перебувають в сусідніх вузлах кристалічної гратки, зазнають взаємного притягання і відштовхування, то потенціальна енергія взаємодії між ними має вигляд потенціальної ями (мал.6.8).

В рамках класичної фізики при абсо-лютному нулю атоми повинні перебувати на дні потенціальної ями, на відстані r0 один від іншого. І, звичайно, бути нерухомими. З підвищенням температури енергія атомів зростає, і кожен атом починає здійснювати коливний рух відносно рівноважного положення між точками А і В. При дуже низьких температурах ці коливання можна вважати гармонічними, бо залежність Ер(r) – приблизно параболічна. При вищих температурах, як видно з мал.6.8, з’являється асиметрія відхилень від рівноважного положення r0: коливання стають ангармонічними. За рахунок ангармонізму середня відстань між атомами з ростом температури збільшується – має місце теплове розширення твердих тіл.

Оскільки три взаємноперпендикулярні напрямки коливань є рівноправними, то можна вважати, що атом в кристалічній гратці володіє трьома коливними ступенями вільності (і=3). Якщо знехтувати ефектом ангармонізму, то теплові коливання окремого атома можна моделювати сукупністю трьох незалежних лінійних осциляторів. Будемо вважати коливання окремих атомів незалежними. Тоді для одного моля речовини кількість ступенів вільності коливного руху складатиме 3NA, де NA – число Авогадро. В класичній фізиці на одну ступінь вільності коливного руху припадає енергія к0Т, де к0 – постійна Больцмана. Отже, внутрішня енергія моля твердого тіла

, (6.40)

де R – універсальна газова стала.

Молярна теплоємність тіла

. (6.41)

Такий результат (закон Дюлонга-Пті) підтверджується експериментально для багатьох простих кристалічних речовин при високих температурах. Але при низьких температурах експеримент (мал.6.9) і класична теорія катастрофічно розходяться. Зокрема, при дуже низьких температурах виконується “закон кубів Дебая” , у відповідності з яким

.

Першу спробу узгодити експери-мент з теорією здійснив А. Ейнштейн

(1907 р.), який залишивши тезу про незалежність осциляторів, запропонував вважати останні не класичними, а квантовими.

Як показано в § 6.5, енергія квантового лінійного осцилятора

. (6.42)

Ейнштейн припустив, що всі осцилятори коливаються з однаковою частотою

, а їх розподіл за енергією описується класичною функцією розподілу Максвелла-Больцмана

, (6.43)

де N0 – загальна кількість атомів, а N

– кількість атомів, коливна енергія яких складає . Тоді середня енергія одного осцилятора, тобто енергія, що припадає на одну ступінь вільності,

. (6.44)

Після математичних перетворень останній вираз запишеться як

. (6.45)

Внутрішня енергія одного моля твердого тіла

,

а молярна теплоємність

. (6.46)

При високих температурах, коли к0Т>>h

, формула (6.46) дає , тобто закон Дюлонга-Пті. При низьких температурах, коли к0Т<<h , отримаємо

. (6.47)

Оскільки експоненційна залежність сильніша від степеневої, то (6.47) дає зменшення теплоємності з пониженням температури, що лише якісно узгоджується з експериментом (мал.6.9), але не забезпечує кількісно виконання “закону кубів Дебая”. Для розділення областей високотемпературного і низькотемпературного наближень вводиться характеристична температура Ейнштейна

, при якій ; звідси . Отже, при виконується закон Дюлонга-Пті; при виконується залежність (6.47).