Розділ 2. Основні поняття квантової електроніки (фізичні основи квантової електроніки)
Принцип дії лазера або мазера заснований на трьох «китах» – головних поняттях квантової електроніки, а саме на поняттях вимушеного випромінювання, інверсного заселення та зворотнього зв’язку. Розглянемо більш детально дані основні поняття квантової електроніки.
Згідно законам класичної електродинаміки джерелом випромінювання світла може бути заряд, який рухається з прискоренням, причому величина випромінюваної енергії дорівнює:
(2.1)де
- прискорення частинки.Якщо джерелом випромінювання є одномірний гармонічний осцилятор
то частота випромінювання буде співпадати з механічною частотою коливання осцилятора, а інтенсивність випромінювання пропорційна квадрату амплітуди.
У квантовій механіці підхід до процесу випромінювання інший, оскільки саме випромінювання по квантовій теорії має місце тоді, коли частинка (система) переходить із одного квантового стану в інший, енергетично більш низький, тобто «зверху вниз».
Основні ідеї квантової теорії випромінювання полягають у наступному. Нехай один із електронів якої-небудь атомної системи знаходиться в збудженому стані m з енергією Еm. Тоді для такого електрона існує певна ймовірність Amnспонтанного переходу у більш низький енергетичний стан n з енергією En. При цьому відбувається випромінювання фотона з енергією
Якщо число подібних збуджених атомів дорівнює Nm, то енергія випромінювання за одиницю часу за рахунок спонтанних переходів дорівнюватиме: (2.2)Якщо атоми зазнаватимуть дії зовнішнього електромагнітного випромінювання, то виникатимуть вимушені переходи зверху вниз, і знизу вгору, причому переходи знизу вгору будуть відбуватися з поглинанням фотонів.
Позначимо імовірність вимушеного (індукованого) переходу з стану mв стан n через Bmn, а з стану n в стан mчерезBnm. Оскільки число вимушених переходів пропорційне спектральній густині
падаючого випромінювання, знайдемо значення енергії випромінювання і поглинання: (2.3) (2.4)де Nm– число станів у стані n. Розглянемо випадок термодинамічної рівноваги між нагрітими атомами і випромінюваним ними світлом (чорне випромінювання). Тоді:
.(2.5)Покладемо, що розподіл електронів по станам задаються розподілом Максвелла. Тоді маємо:
(2.6)У результаті математичних перетворень одержимо:
(2.7)Тоді з порівняння знаходимо:
(2.8)Звідси видно, що імовірності вимушених переходів як зверху вниз, так і знизу вгору виявляються рівними і пропорційними коефіцієнту спонтанного переходу Amn. Тому для описання випромінювання атомів або молекул достатньо визначити лише один із цих коефіцієнтів.
У загальних рисах квантова теорія випромінювання зводиться до наступного. В рамках теорії Шредінгера можна пояснити лише вимушені переходи, що відбуваються у результаті взаємодії електронів атома із зовнішньою електромагнітною хвилею. Спонтанні переходи із збуджених енергетичних станів у більш низькі залишаються у цьому випадку фактично не поясненими, оскільки відсутня зовнішня дія, яка б могла привести до цих переходів. Відповідь на це питання було знайдено тільки після створення квантової теорії випромінювання, у якій був використаний апарат квантування електромагнітного поля. При цьому електрони і поле випромінювання розглядаються як дві взаємодіючі квантові системи, причому ця взаємодія не зникає навіть при відсутності реальних фотонів.
Розглянемо атом, який з деякого моменту t=0 зазнає дії поля світлової хвилі. Покладемо, що хвиля строго монохроматична, лінійно поляризована по осі x і поширюється вздовж осі z. Електричне поле цієї хвилі діє на електрон атома з силою:
(2.9)де Е – напруженість електричного поля монохроматичної хвилі,
- довжина хвилі.Виберемо початок координат у центрі атома. Тому відношенням
можна знехтувати і вираз (10.14) перепишеться як: (2.10)Дій силі відповідатиме потенціал:
(2.11)Це і буде зовнішнє збурення, що діє на атом.
Нехай, як ми і припускали, в момент t=0 атом знаходиться у стаціонарному стані з енергією En. Під впливом збурення буде буде здійснюватися перехід в інші стани. Знайдемо імовірність переходу En – Em за проміжок часу 0 – t. Для цього потрібно розв’язати нестаціонарне рівняння Шредінгера:
(2.12), де гамільтоніан , .Розв’язок будемо шукати у вигляді:
(2.13)Підставивши (2.13) у рівняння (2.12) і провівши нескладні викладки отримаємо:
(2.14).Підставляючи в цю рівність замість φm функції φ1, φ2,…отримаємо систему рівнянь, за яких можна знайти всі коефіцієнти С1, С2,…, тобто значення ймовірностей. Ці рівняння є тотожними, поскільки ніяких наближень не робилося.
Практично знайти коефіцієнти Cm з точного рівняння (2.14) неможливо, оскільки рівняння утворюють систему з нескінченним числом невідомих. Для отримання першого наближення можна скористатися тим, що коефіцієнти Ск(t) змінюються з часом повільно, а тому можна прийняти, що в час, близький до t=0, коефіцієнти Ск зберігають ті значення, які вони мали при t=0. Наприклад, якщо пр t=0 атом знаходиться у стаціонарному стані з енергією En, то для t=0 коефіцієнт Cnрівний одиниці, а решта рівні
,Оскільки для цього моменту з достовірністю відомо, що атом знаходиться у стані
. Допускаємо, що ці значення коефіцієнтів зберігаються при достатньо малих значеннях t >0.Тому одержимо: (2.15)Переходи, які здійснюються в атомі під впливом поля випромінювання, можуть ати двоякий характер. Якщо Em > En, то атом буде поглинати енергію із поля, якщо Em <En – то атом віддає енергію полю – відбувається вимушене випромінювання. В першому випадку
додатне, у другому від’ємне. У кожному випадку одним із двох членів у дужках виразу (2.15) можна знехтувати першим доданком, а у випадку вимушеного випромінювання – другим.Розглянемо випадок поглинання, тоді з (2.15) матимемо:
(2.16)Квадрат модуля Сm характеризує імовірність переходу, тому
(2.17)(Сm)2 пропорційно квадрату дипольного моменту переходу
результат аналогічний класичній теорії випромінювання з тією різницею, що замість дипольного моменту ex входить матричний елемент exmn.Імовірність матиме максимальне значення при
, тобто падаюча хвиля спричиняє перехід En→ Emтільки у тому випадку, коли її частота співпадає з або дуже близька до .Розглянутий випадок є ідеалізованим. Дійсно, ми розглядали стани з різко визначеними значеннями енергії Emі En, а отже і
- строго визначена частота. В дійсності ж, стани мають скінченну ширину, а тому лінія поглинання теж має скінченну ширину, тобто є вузькою ділянкою суцільного спектру. Тому для отримання повної імовірності переходу, що відповідає всій ширині лінії, а не тільки її максимуму, необхідно (2.17) про інтегрувати по частотам в межах ширини лінії. Тоді одержимо: