Электрические аппараты (стр. 21 из 57)

(6.27)

для случаев, когда

(6.28)

Формула может быть представлена в ином виде:

(6.29)

и формально имеет такой же вид, как и формула закона Ома для электрического тока. Поэтому знаменатель в этой формуле

часто называют сопротивлением тепловому потоку при переходе от поверхности S к окружающей среде, при этом имеется в виду, что превышение температуры не изменяется во времени.

Применение формулы ньютона для рассмотрения устанавливающегося процесса нагрева телаот источников тепла, расположенных внутри тела

Пусть внутри тела действует источник тепла постоянной мощности Р. Введем следующие предположения:

температура тела в любой момент времени одинакова во всех точках объема тела;

теплоемкость тела С не зависит от температуры;

коэффициент теплоотдачи практически не зависит от превышения температуры и одинаков по всей поверхности тела.

За время энергия, генерируемая в теле, будет расходоваться на повышение температуры тела а часть ее будет отдаваться в окружающую среду:

(6.30)

Следовательно, уравнение процесса нагрева тела

(6.31)

Частное решение последнего уравнения

(6.32)

Общее решение дополнительного уравнения

(6.33)

будет

(6.34)

где А — постоянная интегрирования, определяемая условиями задач.

Величина равная отношению полной теплоемкости С тела к его теплоотдающей способности называется постоянной времени.

Общее решение уравнения:

(6.35)

Для определения постоянной А используем следующее условие: при

должно быть значит

(6.36)

Подставляя полученное выражение, будем иметь

(6.37)

На рис.6.6 представлено графическое изображение последнего выражения, из которого видно, что при t= со

(6.38)

Откуда следует, что

(6.39)

Рис.6.6. Зависимость превышения температуры от времени при нагреве однородного тела

Таким образом, т₀ равно установившемуся превышению температуры, когда выделяемая мощность Р становится численно равной мощности, отдаваемой в окружающую среду с поверхности нагретого тела (k^₀SxJ).

Очевидно

(6.40)

Из (6.39)следует:

(6.41)

Касательная к кривой

в начале координат отсекает на прямой too отрезок, равный в выбранном масштабе постоянной времени Т.

Нетрудно показать, что при

(6.42)

На основании этого можно определять постоянную времени Т как время, необходимое для достижения установившегосяпревышения температуры (см. рис.6.6).

С точностью можно считать, что процесс установления температуры происходит через время, равное

После отключения аппарата начинается его охлаждение. Так как энергия, подводимая к аппарату, равна нулю, то левая часть также равна нулю:

(6.43)

Решение уравнения (6.43) имеет вид:

(6.44)

где А — постоянная интегрирования, равная

(6.45)

Окончательно получаем:

Основы теории передачи тепла теплопроводностью

Основной закон теплопроводности био - Фурье

Основной закон теплопроводности математически описывается выражением

(6.46)

Здесь: количество тепла, передаваемое за время dt

через площадку S в направлении нормали к последней;

производная от температуры вдоль нормали (п) к

площадке S;

коэффициент теплопроводности {вт/м°С).

Знак (—) показывает, что тепло передается в направлении убывания температуры вдоль нормали (п) к площадке (S).

Поделив обе части равенства на dt, получим количество тепла, проходящее в единицу времени через площадку S

(6.47)

Производная является тепловым потоком через площадку S. Отношение

(6.48)

представляет собой плотность теплового потока в какой-либо точке на поверхности S. Таким образом, равенство можно написать в следующем виде

(6.49)

Передача тепла теплопроводностьюсквозь толщу стенки,ограниченную двумя плоскостями

Рассмотрим простейшие случаи, когда тепловой поток Ф и его плотность Ф₀ не изменяются во времени (стационарное состояние) и в пространстве.

Такой случай может иметь место при наличии стенки толщиной б, ограниченной двумя параллельными плоскостями и разделяющей две среды (жидких или газообразных) с различными температурами (рис. 6.7).

Пусть температура fli на всем протяжении одной стороны стенки 1 будет больше, чем температура Ь₂на противоположной стороне. Предполагая, что площадь стенки достаточно велика (теоретически не ограничена), можно предположить, что поверхности с одинаковой температурой (изотермические поверхности) в толще стенки будут представлять собой плоскости, параллельные граничным поверхностям, имеющим постоянные (но различные) температуры на всем протяжении каждой поверхности. При этом естественно, что изменение температуры будет происходить только в направлении нормали к поверхности стенки. Вследствие этого, направляя ось ординат вдоль стенки 1, ось абсцисс — вдоль нормали к поверхности стенки, и заменяя букву п буквой х в равенстве можно написать:

Этому дифференциальному уравнению соответствуют следующие граничные условия:

Решением уравнения будет

(6.50)

Для определения С_х используем условие:

т. е.

Из последнего равенства следует, что температура в стенке изменяется по закону прямой.

Используя условие получим:

т. е.

(6.51)

где падение (перепад) температуры в толще стенки при данной плотности теплового потока.

Рис.6.7. К расчету теплопередачи через плоскую стенку

Формулу (6.51) пишут иначе, учитывая, что