Математическое моделирование пластической деформации кристаллов (стр. 2 из 7)
Кроме того, квантовые эффекты становятся важными для любых систем, когда температура
достаточно низка. Падение удельной теплоемкости кристаллов ниже температуры Дебая и аномальное поведение коэффициента теплового расширения есть хорошо известные примеры измеримых квантовых эффектов в твердых телах. Поэтому результаты, полученные с помощью МД должны интерпретироваться с известной осторожностью в этих областях.Второе ограничение связано с ограниченностью используемых компьютерных ресурсов, что приводит к ограничению количества рассматриваемых атомов и, как следствие, к снижению точности вычисляемых физических величин. Частично эту проблему можно обойти, используя подходящие граничные условия (см. ниже). Постоянный рост мощности компьютеров также способствует смягчению этой проблемы. Так, в настоящее время, в печати имеются сообщения о расчетах с 100 млн. атомов.
Необходимо отметить, что современные мощные суперкомпьютеры являются параллельными. Поэтому для расчетов на них необходимо обеспечить эффективное распараллеливание вычислений. Об одной новой возможности распараллеливания в рассматриваемой здесь задаче будет сказано ниже.
Ограниченное быстродействие компьютеров накладывает ограничения на скорость деформации, используемую в вычислениях. Это связано с тем, что при решении уравнений движения шаг по времени должен составлять порядка 0,01 шага от периода колебаний атомов (по порядку величины равного
сек) для обеспечения необходимой точности вычислений. Отсюда следует, что для обеспечения деформации ~100% за приемлемое время вычислений типичная скорость деформации должна составлять порядка 
сек 
в то время как максимально достигаемая в эксперименте скорость деформации составляет 105 сек-1. Кроме очевидной возможности достижения более низкой скорости деформации, увеличивая время вычислений, есть еще одна возможность – использовать процедуру минимизации.При нулевой температуре система находится в локальном минимуме внутренней энергии, а из-за отсутствия тепловых колебаний она не может покинуть этот минимум.
Процедура минимизации позволяет деформируемой системе находиться вблизи локального минимума внутренней энергии. При таком моделировании время не определено, так как мы не решаем уравнений движения. Следовательно, скорость деформации не оказывает никакого влияния, если она достаточно низка чтобы исключить нагрев системы, и обеспечить сходимость процедуры минимизации. Таким образом, моделирование, основанное на процедуре минимизации, представляет собой модель идеализированного эксперимента при нулевой температуре в пределе низкой скорости деформации, когда тепло выделяемое при деформировании, удаляется.
1.2. Потенциал
Для моделирования материала необходимо задать потенциал взаимодействия составляющих его атомов. Наиболее простым является парный потенциал Леннарда-Джонса
 , | (2) |
Здесь,
- расстояние между атомами, 
- глубина потенциальной ямы и 
связано с положением минимума потенциала 
. Потенциал Леннарда-Джонса качественно правильно описывает взаимодействие между атомами – сильное отталкивание на малых расстояниях, обусловленное первым слагаемым в скобках, и притяжение на больших расстояниях, за которое отвечает второе слагаемое в скобках. Он хорошо описывает ван-дер-ваальсовское взаимодействие между атомами кристаллов благородных газов, но, вследствие своей простоты, часто используется для качественного описания взаимодействия других атомов. С потенциалом Леннарда-Джонса проведено большое количество вычислений. Он является стандартным в вычислениях методом МД.Основными материалами реакторостроения являются металлы – сталь, цирконий и т.д. В металлах природа сил взаимодействия между атомами не двухчастичная (парная) а многочастичная. Effective Medium Theory (EMT) дает реалистическое описание металлической связи с учетом её многочастичной природы [3,4]. EMT- потенциал, с вычислительной точки зрения, не намного сложнее парного потенциала, но дает намного более реалистическое описание свойств материалов. Поскольку в данной работе не ставится задача изучения пластических свойств конкретного материала мы будем использовать модельный потенциал Леннарда-Джонса.
Удобно при этом выбрать в качестве единицы длины
, единицы энергии и единицы массы - массу атомов 
(полагаем, что материал состоит из атомов одного сорта). Это приводит к ускорению вычислений. Чтобы перейти к величинам, характеризующим конкретный материал, необходимо ввести соответствующие масштабные множители - для длины, 
для времени, 
для скорости, 
для силы, 
( 
в двумерном случае) для напряжения, где 
и взяты для данного материала.Потенциал Леннарда-Джонса простирается до бесконечности. Однако на больших расстояниях он мал. И поэтому его влияние на движение далеких атомов мало. Чтобы ускорить вычисления эту несущественную часть потенциала отбрасывают, или, другими словами, вводят обрезание потенциала
 . | (3) |
Радиус обрезания
традиционно выбирают 
или 
. Возможные причины такого выбора будут обсуждаться ниже. В данной работе будет использоваться радиус обрезания 
. Другие необходимые изменения в потенциале Леннарда-Джонса будут обсуждаться в разделе, посвященном выполнению закона сохранения энергии в МД.1.3. Алгоритм интегрирования по времени
Основным компонентом программ, использующих метод молекулярной динамики, является алгоритм интегрирования по времени. Он необходим, чтобы проинтегрировать уравнения движения взаимодействующих частиц и найти их траектории.
Алгоритм интегрирования по времени основывается на методе конечных разностей, время при этом задается на конечной сетке, шаг по времени есть расстояние между последовательными точками сетки. Зная положения и скорости в момент времени
(точные детали зависят от типа алгоритма) схема интегрирования дает те же величины в более поздний момент времени 
. Используя процедуру интегрирования временную эволюцию системы можно прослеживать в течении длительного времени.Конечно, эти схемы приближенными, и, поэтому, существуют ошибки, связанные с ними. Они классифицируются так:
Ошибки обрывания, связанные с точностью метода конечных разностей по отношению к истинному решению. Метод конечных разностей обычно базируется на ряде Тейлора, оборванном на некотором члене. Эти ошибки не зависят от программной реализации метода, они присущи самому алгоритму.
Ошибки округления, связаны с ошибками, возникающими при программной реализации алгоритма. Например, такие ошибки возникают из-за конечного числа цифр, используемых в компьютерной арифметике.
Оба типа ошибок можно уменьшить, уменьшая
. Для больших ошибки обрывания доминируют, но они быстро уменьшаются, когда уменьшается. Например, алгоритм Верле имеет ошибки обрывания пропорциональные 
для каждого временного шага интегрирования. Ошибки округления падают более медленно с уменьшением и доминируют в пределе малых . Использование 64-битной точности (соответствующую “двойной точности” в Fortrane) помогает сохранить ошибки округления минимальными.