Математическое описание динамических процессов электромеханического преобразования энергии (стр. 2 из 6)

Изложенным положениям соответствуют следующие выражения для индуктивностей обобщенной явнополюсной машины:

С учетом (2.5) уравнения электрического равновесия (2.3) можно представить в виде

где L определяются (2.6) или (2.7).

Дифференциальное уравнение электромеханического преобразования энергии получим, воспользовавшись известной формулой [8]:

С помощью (2.5) электромагнитный момент машины (2.9) может быть выражен через токи обмоток:

Уравнение электромагнитного момента для неявнополюсной машины можно получить, подставив в (2.10) выражения дня собственных и взаимных индуктивностей обмоток (2.6):

Аналогично может быть получено с помощью (2.7) и уравнение электромагнитного момента явнополюсной машины.

3. Электромеханическая связь электропривода и ее характеристики

Уравнения электрического равновесия (2.8) и уравнение электромагнитного момента (2.10) представляют собой математическое описание динамических процессов преобразования энергии во вращающихся электрических машинах, записанное в общем виде и выраженное через действительные переменные двухфазной модели. Вместе (2.8) и (2.10) образуют систему из пяти уравнений, устанавливающую взаимосвязь между процессами в механической и электрической частях электромеханической системы. Проявления этой взаимосвязи в теории электропривода называются электромеханической связью.

Для разъяснения сути этого понятия воспользуемся уравнениями электрического равновесия (2.8). В соответствии с (2.6) и (2.7) индуктивности Li,j зависят от электрического угла поворота ротора фэл, а следовательно, и от времени t. Поэтому, выполнив дифференцирование в (2.8), можно эти уравнения представить в виде

где =d/dt - угловая скорость ротора машины.

Первый член каждого уравнения (2.12) представляет собой падение напряжения на активном сопротивлении цепи данной обмотки, второй - результирующую ЭДС самоиндукции и взаимной индукции еLi вызванную изменениями токов в обмотках, а третий член отражает взаимодействие механической и электрической частей электропривода, так как представляет собой результирующую ЭДС ei наведенную в обмотке в результате механического движения ротора машины:

Наличие в (2.12) ЭДС ei, зависящих от скорости ротора двигателя, приводит к тому, что изменения скорости, вызванные процессами в механической части, вызывают изменения токов ii потребляемых обмотками машины. Рассмотренное явление представляет собой электромеханическую связь в системе электропривода, благодаря которой при питании двигателя от источника напряжения существует зависимость токов силовой цепи электропривода от его скорости. Так как токи ii благодаря электромеханической связи зависят от скорости ротора машины, то и ее электромагнитный момент, определяемый (2.10), также является функцией скорости.

Качественными и количественными характеристиками электромеханической связи, широко используемыми в теории электропривода, являются электромеханические и механические характеристики. Электромеханическими характеристиками называются характеристики ii=f() или =f(ii), соответствующие статическим или конкретным динамическим режимам работы электропривода. Аналогичные характеристики М=f() и =f(М), связывающие в этих режимах электромагнитный момент и скорость электропривода, называются механическими характеристиками.

Уравнения электрического равновесия (2.12) выражают математическую связь между функциями ii(t) и (t) в динамических процессах электромеханического преобразования энергии. Следовательно, эти уравнения представляют собой обобщенное математическое описание электромеханических характеристик двигателя во всех режимах работы. Поэтому в дальнейшем они называются уравнениями электромеханической характеристики двигателя.

Система уравнений, составленная из уравнений электромеханической характеристики (2.12) и электромагнитного момента (2.10), устанавливает математическую связь между функциями M(t) и (t) во всех режимах работы, т. е. является обобщенным математическим описанием механических характеристик двигателя. В дальнейшем эти уравнения называются уравнениями механической характеристики.

Таким образом, уравнения (2.12) вместе с (2.10) образуют систему уравнений механической характеристики двигателя:

Все множество электромеханических и механических характеристик, определяемых (2.12) и (2.14), в зависимости от режимов работы электропривода разделяется на динамические и статические характеристики. Всем динамическим процессам соответствуют динамические электромеханические ii=f() и механические М=f() характеристики, а статическим - статические. Уравнения статических характеристик получаются из общих уравнений динамики (2.12) и (2.14) путем подстановки в них условий, соответствующих статическим режимам работы.

Электромеханическая связь объединяет механическую часть электропривода и электромеханический преобразователь в единую электромеханическую систему. Действительно, благодаря наличию этой связи электромагнитный момент двигателя реагирует на процессы, протекающие в механической части, и в свою очередь оказывает влияние на эти процессы. Как следствие, электромеханическая связь определяет важные физические свойства разомкнутых и замкнутых электромеханических систем, и ее характеристики в теории электропривода являются эффективным инструментом для изучения этих свойств. Создание электроприводов, обладающих требуемыми качествами, как ниже будет показано, практически реализуется путем формирования требуемых статических и динамических механических характеристик электропривода.

4. Линейные преобразования уравнений механической характеристики обобщенной машины

При решении многих задач значительное упрощение математического описания процессов электромеханического преобразования энергии достигается путем линейных преобразований исходной системы уравнений, при этом осуществляется замена действительных переменных новыми переменными при условии сохранения адекватности математического описания физическому объекту. Условие адекватности обычно формулируется в виде требования инвариантности мощности при преобразовании уравнений. Вновь вводимые переменные могут быть либо действительными, либо комплексными величинами, связанными с реальными переменными формулами преобразования, вид которых должен обеспечивать выполнение условия инвариантности мощности.

Целью преобразования всегда является то или иное упрощение исходного математического описания динамических процессов: устранение зависимости индуктивностей и взаимных индуктивностей обмоток от угла поворота ротора, возможность оперировать не синусоидально меняющимися переменными, а их амплитудами и т. п.

Вначале рассмотрим действительные преобразования, позволяющие перейти от физических переменных, определяемых системами координат, жестко связанными со статором (, ) и с ротором (d, q), к расчетным переменным, соответствующим системе координат и, v, вращающихся в пространстве с произвольной скоростью к. Для формального решения задачи представим каждую реальную обмоточную переменную - напряжение, ток, потокосцепление - в виде вектора, направление которого жестко связано с соответствующей данной обмотке осью координат, а модуль изменяется во времени в соответствии с изменениями изображаемой переменной.

На рис.2.3 обмоточные переменные обозначены в общем виде буквой х с соответствующим индексом, отражающим принадлежность данной переменной к определенной оси координат, и показано взаимное положение в текущий момент времени осей , , жестко связанных со статором, осей d, q, жестко связанных с ротором, и произвольной системы ортогональных координат u, v вращающихся относительно неподвижного статора со скоростью к. Полагаются заданными реальные переменные в осях ,  (статор) и d, q (ротор), соответствующие им новые переменные в системе координат и, v можно определить как суммы проекций реальных переменных на новые оси.

Для большей наглядности графические построения, необходимые для получения формул преобразования, представлены на рис.2.3,а и б для статора и ротора отдельно. На рис.2.3,а показаны оси , , связанные с обмотками неподвижного статора, и оси и, v повернутые относительно статора на угол к=кt. Составляющие вектора х1u определены как проекции векторов х1 и x1 на ось u, составляющие вектора х1v- как проекции тех же векторов на ось v. Просуммировав проекции по осям, получим формулы прямого преобразования для статорных переменных в следующем виде: