Математическое описание динамических процессов электромеханического преобразования энергии (стр. 3 из 6)

Аналогичные построения для роторных переменных представлены на рис.2.3,б. Здесь показаны неподвижные оси , , повернутые относительно них на угол эл оси d, q, связанные с ротором машины, повернутые относительно роторных осей d и q на угол фк-фэл оси u, v, вращающиеся со скоростью к и совпадающие в каждый момент времени с осями и, v на рис.2.3,а. Сравнивая рис.2.3,б с рис.2.3,a, можно установить, что проекции векторов x2d и x2q на и, v аналогичны проекциям статорных переменных, но в функции угла (к-эл). Следовательно, для роторных переменных формулы преобразования имеют вид

Для пояснения геометрического смысла линейных преобразований, осуществляемых по (2.15) и (2.16), на рис.2.3 выполнены дополнительные построения. Они показывают, что в основе преобразования лежит представление переменных обобщенной машины в виде векторов

и . Как реальные переменные х1 и х1, так и преобразованные x1u и х1v являются проекциями на соответствующие оси одного и того же результирующего вектора . Аналогичные соотношения справедливы и для роторных переменных.

При необходимости перехода от преобразованных переменных x1u, x1v, x2u, x2v к реальным переменным обобщенной машины x1, x1, x2d, x2q используются формулы обратного преобразова-ния. Их можно получить с помощью построений, выполненных на рис.2.4,а и б аналогично построениям на рис.2.3,а и б:

Формулы прямого (2.15), (2.16) и обратного (2.17) преобразований координат обобщенной машины используются при построении управляющих вычислительных устройств для регулируемых электроприводов переменного тока, а также при проведении исследований, требующих более полного описания процессов в машине, чем достигаемое использованием уравнений механической характеристики обобщенной машины (2.14). Во всех случаях, когда применимы уравнения (2.14), можно непосредственно пользоваться преобразованными уравнениями механической характеристики и выражениями потокосцеплений. Для получения преобразованных уравнений (2.4) и (2.12) необходимо произвести в них замену реальных переменных с помощью формул (2.17) и выполнить преобразования полученных выражений для разделения уравнений по осям и, v.

Эти преобразования несложны, но громоздки, поэтому для пояснения их сути ограничимся преобразованием уравнений электрического равновесия для цепи статора. Подставив выражения переменных (2.17) в первые два уравнения системы (2.2), получим

Уравнения (2.18) содержат переменные разных осей, поэтому для выделения уравнений электрического равновесия, соответствующих обмотке каждой оси, необходимы их преобразования. С этой целью выполним предусмотренные (2.18) операции дифференцирования произведений потокосцеплений на тригонометрические функции угла фк, домножим первое уравнение на cos фк, а второе на sin фк и произведем сложение полученных уравнений. Так как cos2 фк + sin2 фк=1, после приведения подобных членов получим уравнение электрического равновесия для оси и. Затем домножим первое уравнение (2.18) на - sin фк, а второе на cos фк после выполнения перечисленных операций получим аналогичное уравнение для оси v. В результате таких же преобразований уравнений электрического равновесия для роторных цепей получим преобразованные к осям и, v уравнения электромеханической характеристики обобщенной машины:

где к=dк/dt, эл=dэл/dt.

Аналогично с помощью (2.17) можно получить преобразованные уравнения потокосцеплений (2.4). Однако их можно достаточно просто записать на основе физических соображений. Переход к осям и, v соответствует переходу к взаимно неподвижным обмоткам, вращающимся со скоростью к (рис.2.5). Рассматривая этот рисунок, можно определить искомые соотношения:

Таким образом, потокосцепление каждой обмотки в системе координат и, v определяется собственной индуктивностью L1 или L2 и взаимной индуктивностью L12 с другой обмоткой, расположенной на той же оси. Взаимодействие с токами других обмоток отсутствует, так как их оси сдвинуты на электрический угол, равный 90°.

С помощью уравнений (2.20) можно при необходимости в уравнениях электромеханической характеристики (2.19) исключить потокосцепления, выразив их через токи обмоток.

Проверим, выполняется ли при данном координатном преобразовании уравнений обобщенной машины требование инвариантности мощности. Для упрощения записи примем u2d=u2q=0. Тогда вся мощность поступает в машину со стороны статора:

Произведем в (2.21) замену переменных с помощью формул (2.17) и получим

Таким образом, условие инвариантности мощности при рассмотренном преобразовании переменных выполняется. Воспользуемся формулами преобразования для получения удобных для использования выражений электромагнитного момента двигателя. Для неявнополюсной машины уравнение момента получим, заменив в (2.11) реальные переменные на преобразованные по формулам (2.17):

В результате преобразований (2.22) с учетом (2.20) можно получить следующие формулы для определения электромагнитного момента обобщенной машины:

В справедливости формул (2.23) и (2.24) можно убедиться, выразив с помощью (2.20) потокосцепления через токи. Таким путем после преобразований все эти формулы приводятся к полученной выше формуле (2.22).

Объединив уравнения электромеханической характеристики (2.19) с уравнением электромагнитного момента (2.22), получим математическое описание механических характеристик двигателя в осях и, v:

Рассматривая эти уравнения, можно убедиться, что переход к модели со взаимно неподвижными обмотками существенно упрощает математическое описание динамических процессов электромеханического преобразования энергии. Коэффициенты взаимной индукции и потокосцепления взаимно неподвижных обмоток (2.20) становятся независимыми от механической координаты, а движение реальных обмоток и вращение координатных осей учитываются в уравнениях электрического равновесия введением дополнительных ЭДС вращения. Значительно упрощается уравнение электромагнитного момента двигателя, в котором устраняется непосредственная зависимость от угла фэл и электромеханическая связь проявляется посредством зависимости токов и потокосцеплений обмоток от скорости двигателя.

Построения на рис.2.3 свидетельствуют о возможности представления переменных обобщенной машины в комплексной форме и перехода к записи уравнений относительно результирующих векторов. Напряжения, токи, потокосцепления в (2.19) и (2.22) являются проекциями результирующих векторов, изображающих соответствующие величины, на ортогональные оси координат и, v. Если ось и принять за действительную, а ось v - за мнимую ось плоскости комплексного переменного, то изображающие векторы можно представить в виде

Уравнения (2.19) при комплексной записи изображающих векторов для оси и представляют собой действительную часть соответствующих комплексных уравнений статора и ротора, а для оси v - мнимую. Этому условию отвечают следующие уравнения динамической механической характеристики в комплексной форме:

где i*2 - величина, комплексно-сопряженная величине i2.

Векторы потокосцеплений могут быть выражены через результирующие векторы токов статора i1 и ротора i2:

Подставив (2.28) в (2.27), получим уравнения механической характеристики, выраженные через векторы результирующих токов статора и ротора:

где

р=d/dt.

Комплексное преобразование при эл=const дает возможность аналитическим путем исследовать зависимость момента машины от времени при электромагнитном переходном процессе и в дальнейшем изложении будет для этой цели использовано.

Рассмотренные вещественное и комплексное преобразования уравнений механической характеристики обобщенной машины в значительной степени облегчают анализ динамических режимов электропривода и во многих случаях позволяют при моделировании на ЭВМ вместо реальных переменных токов и напряжений обмоток оперировать соответствующими им после преобразования постоянными величинами. Этого в ряде случаев удается достигнуть удачным выбором угловой скорости координатных осей u, v. На практике широко используются следующие варианты выбора этой скорости.

Выбор к=0 обеспечивает преобразование реальных переменных ротора, выраженных в осях d, q к неподвижным осям , , связанным со статором машины. Уравнения электромеханической характеристики в осях а, Р имеют вид