Методы оценки температурного состояния (стр. 4 из 9)
При первой прошивке начальное поле температур задается равномерным и равным температуре окружающей среды
: 
. (2.26)При охлаждении оправки в качестве начального условия принимается температурное поле, полученное в конце нагрева оправки (в конце прошивки):
. (2.27)Для второго и последующих циклов нагрева и охлаждения за начальное условие также принимается температурное поле предыдущего процесса теплообмена.
Граничные условия (на границе в нерегулярных узлах).
Применяются условия второго рода (условия Неймана): на поверхности задается плотность теплового потока как функция от температуры и координаты
.Граничные условия на границе металл - оправка при нагреве.
Граничные условия в области раздела деформируемый металл - оправка задаются через плотность теплового потока с учетом теплоты, выделяемой при работе сил трения и температурного сопротивления слоя окалины:
; (2.28) 
,(2.29)где
- плотность кондуктивного теплового потока в системе металл - окалина - заготовка; 
- плотность кондуктивного теплового потока в системе металл - воздух - оправка; 
- плотность лучистого теплового потока от металла к оправке в воздушном зазоре; 
- коэффициент контакта, равный отношению площади контакта ко всей площади поверхности оправки в данном сечении и определяемый экспериментально (в нашем случае на I участке 
, на II участке 0 < < 1 ( 
), а на III и IV участках - 
); 
- плотность теплового потока за счет сил трения; 
- коэффициент, учитывающий долю теплоты, поступающей на оправку 
. (2.30)Граничные условия при охлаждении оправки (граничные условия третьего рода).
При расчете охлаждения оправки между прошивками применяются граничные условия третьего рода (используется температура окружающей среды
и коэффициент теплоотдачи 
): 
. (2.31) 
- плотность теплового потока с поверхности оправки при охлаждении, которая рассчитывается в зависимости от условий охлаждения. Например, при охлаждении на воздухе: 
,(2.32)где
- коэффициент теплоотдачи свободной конвекцией; 
- температура поверхности оправки; - температура охлаждающей среды (в данном случае воздуха).При интенсивном охлаждении оправки
. (2.33)В этом случае
- коэффициент теплоотдачи при вынужденной конвекции от поверхности оправки к потоку охладителя. Расчет коэффициента теплоотдачи выполняется по известным критериальным зависимостям.Граничные условия на четвертом участке.
Граничные условия вдоль оси Oz на четвертом участке задаются при допущении отсутствия теплообмена на этой границе:
. (2.34)2.2 Математическая формулировка задачи расчета температурного поля оправки
В общем виде уравнение теплопроводности записывается так:
,(2.35)где
- температура, 
- теплоемкость удельная массовая теплоемкость, 
- коэффициент теплопроводности и 
- плотность источников тепла.Поскольку внутренних источников тепла нет, то уравнение записывается так:
. (2.36)Поскольку прошивная оправка представляет собой тело вращения, то удобно использовать цилиндрическую систему координат. На первом участке для повышения точности решения применена сферическая система координат. Уравнение теплопроводности для сферической системы координат (участок I):
. (2.37)Для цилиндрической системы координат (участки II, III и IV):
. (2.38)В уравнениях
- цилиндрические координаты; 
- сферические координаты; 
- температура; 
- время; 
- удельная объемная теплоемкость; 
- плотность материала оправки; 
- удельная массовая теплоемкость.Для центра сферы уравнение теплопроводности записывается следующим образом:
. (2.39)Для оси центра:
. (2.40)Для выделения единственного решения дифференциального уравнения применяются описанные выше условия однозначности [3], [4].
3. Метод и алгоритм решения уравнений теплообмена
Для решения дифференциального уравнения теплопроводности (2.36) с соответствующими начальными и граничными условиями применяется метод конечных разностей. Конечно-разностная сетка изображена на рис.3.1 Каждый узел сетки нумеруется в виде
, где 
- номер узла по направлению 
для полусферы и цилиндра, a 
- номер узла по направлению 
для полусферы и по направлению для цилиндра. Нумерация узлов начинается от центра сферы и оси цилиндра. Коническая поверхность оправки заменена ступенчатой, кратной шагу 
. Дискретные моменты времени обычно нумеруются индексами: 
- предыдущий, а 
- последующий моменты времени. Номер предыдущей и последующей итерации обозначается верхними индексами 
и 
соответственно.Для аппроксимации дифференциальных уравнений теплопроводности (2.37) - (2.40) применяется неявная консервативная итерационная разностная схема, реализуемая методом Гаусса-Зейделя. Суть этого метода заключается в том, что при расчете температуры
в узле на 
-й итерации используются температуры 
и 
из предыдущей итерации и вновь вычисленные температуры 
и 
на расчетной -й итерации. Неявность разностной схемы достигается применением итерационной процедуры на каждом временном слое.