Методы оценки температурного состояния (стр. 5 из 9)

Рис.3.1 Конечно-разностная сетка, применяемая в численном методе конечных разностей при решении задачи теплопроводности оправки.

Конечно-разностные аналоги дифференциального уравнения теплопроводности для всех характерных участков оправки записываются так:

а) внутренние узлы сферы

(3.1)

б) внутренние узлы конической и цилиндрической частей оправки

(3.2)

в) температура в узлах, расположенных на поверхности сопряжения: полусфера - конус, рассчитывается следующим образом. Поскольку поверхность сопряжения одновременно принадлежит полусфере и конусу, то вторая производную по координатам

аппроксимируется по формулам, приведенным далее. Для полусферы принимается составляющая второй производной по углу

в сферических координатах, а для конической части - составляющая второй производной по

в цилиндрических координатах. Узлы, расположенные на поверхности сопряжения полусфера - конус, пронумерованы

. На поверхности сопряжения при использовании равномерной сетки уравнения записываются так:

(3.3)

г) узлы, расположенные на оси полусферы

(3.4)

д) узлы, расположенные на оси конической и цилиндрической частей оправки

(3.5)

При аппроксимации дифференциальных уравнений (2.39) и (2.40) конечно-разностными аналогами (3.3) и (3.4) учитывается, что в силу симметрии

. В вышеприведенных формулах (3.1) - (3.4) принимаются следующие обозначения:

; (3.6)

; (3.7)

; (3.8)

; (3.9)

,(3.10)

где

- шаг по координате

На поверхности оправки граничные условия II рода при нагреве (2.28) и охлаждении (2.31) аппроксимируются по трем приграничным узлам с учетом поглощения (выделения) теплоты в приграничном узле толщиной

,(3.11)

где

- плотность теплового потока, поступающего на оправку при прошивке или уходящего с нее при охлаждении. Из последнего уравнения получается формула для определения температуры поверхности оправки в узлах

. (3.12)

Граничное условие (2.58) на торцевой границе стержня также аппроксимируется по значениям температуры в трех приграничных узлах сетки

,(3.13)

откуда получается

. (3.14)

При расчете температуры в "центральной" точке сферы и усеченного конуса

возникают трудности, связанные с тем, что эта точка принадлежит одновременно центру полусферы и оси плоскости сопряжения полусфера - цилиндр. Температура в этой "центральной" точке определяется по балансу тепловой энергии в объеме, прилегающем к этой точке (рис.3.2):

,(3.15)

где

- удельная объемная теплоемкость;

- объем тела вращения ABDSA;

- тепловой поток, поступающий в выделенный объем

Рис.3.2 Пояснение к расчету температурного поля в центре сферического участка.

Тепловой поток равен

,(3.16)

где составляющие теплового баланса определяются по формулам

. (3.17)

Объем тела вращения ABDSA (см. рис.3.2) рассчитывается по формуле

. (3.18)

В общем случае все конечно-разностные уравнения приводятся к виду:

,(3.19)

где

- коэффициенты разностного уравнения,

- свободный член. Эти величины рассчитываются по формулам, приведенным в табл.3.1 и табл.3.2. Выражение для искомой температуры

из уравнения (3.19), записывается так:

. (3.20)

Для увеличения скорости сходимости итерационного процесса на каждом временном слое в расчет вводится коэффициент верхней релаксации

. В этом случае:

. (3.21)

Таблица 3.1 Коэффициенты конечно-разностных уравнений.

Уравнения
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)

Таблица 3.2 Коэффициенты конечно-разностных уравнений.

Уравнения
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
(3.5)

Погрешность расчета температуры на первой

и последующих

итерациях равна: