Механика жидкостей и газов в законах и уравнениях (стр. 2 из 3)

Формула (41.1) называется формулой Торричелли. Из нее следует, что скорость истечения жидкости из отверстия, находящегося на глубине h под открытой поверхностью жидкости, совпадет со скоростью, которую приобретает любое тело, падая с высоты h (в случае, если сопротивлением воздуха можно пренебречь). Этот результат получен в предположении, что жидкость идеальна. Для реальных жидкостей скорость истечения будет меньше, причем тем сильнее отличается от значения, определяемого формулой Торричелли, чем больше внутреннее трение в жидкости. Например, глицерин будет вытекать из сосуда медленнее, чем вода.

4. Вязкость. Течение жидкости в трубах

Идеальная жидкость, т. е. жидкость без внутреннего трения, является абстракцией. Всем реальным жидкостям и газам в большей или меньшей степени присуще внутреннее трение, называемое также вязкостью. Вязкость проявляется, в частности, в том, что возникшее в жидкости или газе движение, после прекращения действия причин, его вызвавших, постепенно прекращается. Примером может служить движение жидкости в стакане после того, как ее перестают размешивать ложечкой.

Рассмотрим течение жидкости в круглой трубе. Измерения показывают, что при медленном течении скорость частиц жидкости изменяется от нуля в непосредственной близости к стенкам трубы до максимума на оси трубы.

Жидкость при этом оказывается как бы разделенной на тонкие цилиндрические слои, которые скользят друг относительно друга, не перемешиваясь (рис. 42.1). Такое течение называется ламинарным или слоистым (латинское слово lamina означает пластинку, полоску). Отсутствие перемешивания слоев можно наблюдать, создав в стеклянной трубке диаметра несколько сантиметров слабый поток воды и вводя на оси трубы через узкую трубочку окрашенную жидкость (например, анилин). Тогда по всей длине трубы возникнет тонкая окрашенная струйка, имеющая отчетливую границу с водой.

Из повседневного опыта известно, что для того, чтобы Создать и поддерживать постоянным течение жидкости в трубе, необходимо наличие между концами трубы разности давлений. Поскольку при установившемся течении жидкость движется без ускорения, необходимость действия сил давления указывает на то, что эти силы, уравновешиваются какими-то силами, тормозящим движение. Этими силами является силы внутреннего трения на границе со стенкой трубы и на границах между слоями. Более быстрый слой стремится увлечь за собой более медленный слой, действуя на него с силой F₁ направленной по течению. Одновременно более медленный слой стрёмится замедлить движение более быстрого слон, действуя на него с силой F_2y направленном против течения (рис. 42.2).

Экспериментально установлено, что модуль СИЛЫ внутреннего трения, приложенной к площадке 5, лежащей на границе между слоями, определяется формулой

где n— называемый вязкостью коэффициент пропорциональности, зависящим от природы и состояния

(например, температуры) жидкости, dv/dz—производная, показывающая, как быстро изменяется в данном месте скорость течения в направлений г, перпендикулярном к площадке S. В случае качения жидкости в трубе ось z направлена в каждой точке границы между слоями по радиус} грубы (см. pиc, 42.1), Поэтому вместо dv/dz можно написать, dv/df, Знак модуля в формуле (42.1) поставлен в связи с тем, что в зависимости от выбора направления оси z и характера изменения скорости производная dv/dz может быть как положительной, так и отрицательной, в то время как модуль силы является положительной величиной.

Мы уже отмечали, что при ламинарном течении жидкости в круглой трубе скорость равна нулю у стенки трубы и максимальна па оси трубы. Найдем закон изменения скорости. Выделим воображаемый цилиндрический объем жидкости радиуса r и длины l (рис. 42.3). При стационарном течении этот объем движется без ускорения. Следовательно, сумма приложенных к нему сил равна нулю. В направлении

движения на жидкость действует сила давления, модуль которой равен p₁Пr²; во встречном направлении— сила давления, модуль которой равен p₂Пr². Результирующая сил давления имеет модуль

(Пr² — площадь основания цилиндра).

На боковую поверхность действует тормозящая движение сила внутреннего трения, модуль которой

согласно формуле

(42.1) равен

где 2Пrl — площадь боковой поверхности цилиндра, dv/dr — значение производной на расстоянии r от оси трубы. Скорость убывает с расстоянием от оси труби, поэтому производная dv/dr отрицательна и ее модуль равен —dv/dr {модуль отрицательного числа равен этому числу, взятому с обратным знаком).

Приравняв выражения (42.2) и (42.3), придем к дифференциальному уравнению

Разделив переменные, получим уравнение

интегрирование которого дает, что

Постоянную интегрирования С нужно выбрать так, чтобы на стенке трубы (т. е. при г = R) скорость об* ращалась в нуль. Это условие выполняется при

Подстановка этого значения в (42.4) приводит к формуле

Скорость на оси трубы равна

С учетом этого формулу (42.5) можно написать в виде

Отсюда следует, что при ламинарном течения скорость изменяется с расстоянием от оси трубы но параболическому закону (рис. 42.4а).

С помощью формулы (42.7) можно вычисти, поток жидкости Q, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы и единицу времени. Разобьем сечение трубы на кольца ширины dr (рис. 42.5). Через кольцо радиуса r пройдёт в единицу времени объем жидкости dQ, равный произведению площади кольца 2Пrdr на скорость v(t) на расстоянии от оси трубы:

(мы воспользовались формулой (42.7)). Проинтегрировав это выражение по г в пределах ОТ пули до R, получим поток Q:

(S—площадь сечения трубы). Поток можно представить как произведение среднего по сечению значения скорости <и> на площадь 5. Из формулы (42.8) следует, что при ламинарном течении среднее значение скорости равно половине значения скорости на оси трубы.

Подставив в (42.8) выражение (42.6) дли с>о, получим формулу

которая называется ф о р м у л о й П у а з е й л я . Из нее следует, что поток очень сильно зависит от радиуса трубы.

Естественно, что Q пропорционален отношению {P₁ — Р₂) / l т. е. перепаду давления на единице длины трубы, а также обратно пропорционален вязкости жидкости n.

Формула Пуазейля используется для определения вязкости жидкостей и газов. Пропуская жидкость или газ через трубку известного радиуса, измеряют перепад давления и поток Q. Затем на основании полученных данных вычисляют n.

Мы все время подчеркивали, что предполагаем течение медленным для того, чтобы оно имело ламинарный характер. Напомним, что ламинарное течение является стационарным. Это означает, что скорость частиц жидкости, проходящих через данную точку пространства, все время одна и та же. Если увеличивать скорость течения, то при достижении определенного значения скорости характер течения резко меняется. Течение становится нестационарным — скорость частиц в каждой точке пространства все время беспорядочно изменяется. Такое течение называется турбулентным. При турбулентном течении происходит интенсивное перемешивание жидкости. Если в турбулентный поток ввести окрашенную струйку, то уже на небольшом расстоянии от места ее введения окрашенная жидкость равномерно распределится по всему сечению потока. Это можно наблюдать в упоминавшемся выше опыте, если увеличить поток воды в стеклянной трубке.

Поскольку при турбулентном течении скорость в каждой точке все время меняется, можно говорить только о среднем по времени значении скорости, которая при неизменных условиях течения оказывается постоянной в каждой точке пространства. Профиль средних скоростей для одного из сечений трубы при турбулентном течении показан на рис. 42.56. Сравнение с рис. 42.5 а показывает, что вблизи стенки трубы скорость изменяется гораздо сильнее, чем при ламинарном течении; в остальной части сечения скорость изменяется меньше.