Уравнение неразрывности.

Хотя гидроаэродинамика основана на трёх хорошо известных в механике законах сохранения массы, импульса и энергии, формулировки этих законов в ней выглядят сложнее. Например, обычное определение закона сохранения массы гласит, что масса системы тел остаётся неизменной. Для жидкости, текущей в трубе, этот закон используется в форме, называемой уравнением неразрывности. Уравнение неразрывности - соотношение между скоростью течения, объемным расходом среды и расстоянием между линиями тока. Это уравнение выражает один из основных законов гидроаэромеханики, согласно которому объемный расход во всякой трубке тока, ограниченной соседними линиями тока, должен быть в любой момент времени одинаков во всех ее поперечных сечениях. Поскольку объемный расход Q равен произведению скорости текущей среды V на площадь A поперечного сечения трубки тока, уравнение неразрывности имеет следующий вид:

Q = V₁A₁ = V₂A₂ или же vS = const ( v – скорость жидкости, S – площадь сечения трубы, по которой течёт жидкость. Смысл – сколько воды вливается – столько и должно вылиться, если условия течения неизменны).

Поэтому там, где сечение велико и линии тока разрежены, скорость должна быть мала, и наоборот. (Все три части этого двойного равенства должны выражаться в одной и той же системе единиц. Так, если величина Q выражена в м³/с, то скорость V должна выражаться в м/с, а площадь A – в м².)

Уравнение Бернулли.

Одно из важнейших уравнений гидромеханики было получено в 1738 году швейцарским учёным Даниилом Бернулли. Ему впервые удалось описать движение несжимаемой идеальной жидкости (силы трения между элементами идеальной жидкости, а также между идеальной жидкостью и стенками сосуда отсутствуют). Уравнение Бернулли имеет вид:

р + рv² + pgh = const.

где р – давление жидкости, р – её плотность, V – скорость движения, g – ускорение свободного падения, h – высота, на которой находится элемент жидкости.

Согласно уравнению Бернулли, в случае установившегося течения, для которого не имеют существенного значения все другие характеристики текущей среды, кроме плотности (удельного веса), полный напор одинаков во всех поперечных сечениях трубки тока. Если к отверстию в стенке трубы присоединить манометрическую трубку, то жидкость в такой трубке поднимется на высоту, равную гидростатическому напору. Если манометрическую трубку выставить навстречу потоку, то жидкость в манометре поднимется на дополнительную высоту, равную скоростному напору. Трубка, имеющая одновременно торцевое и боковые манометрические отверстия, называется трубкой Пито и используется для определения скорости течения по измеренному скоростному напору. Трубки Пито входят в комплект измерительного оборудования всех самолетов, а также широко применяются для измерений скорости течения в трубопроводах, вентиляционных воздуховодах, в аэро- и гидродинамических трубах.

Если скорость течения равна нулю (т.е. среда не движется), то уравнение Бернулли сводится к простому уравнению гидростатики.

Согласно этому уравнению, увеличению высоты в неподвижной среде жидкости или газа соответствует равное уменьшение гидростатического напора. Поэтому давление в любой точке неподвижной жидкости равно глубине этой точки под свободной поверхностью, умноженной на удельный вес жидкости. На основе этого соотношения вычисляется давление жидкости на стенки резервуаров, а также проводится анализ плавучести и остойчивости морских и речных судов.

В тех случаях, когда скорость течения отлична от нуля, уравнение Бернулли совместно с уравнениями неразрывности и закона сохранения количества движения позволяет решать практически важные задачи – о расходе среды, текущей через измерительные диафрагмы, поверх измерительных и водосбросных водосливов и под затворы шлюзовых галерей; о траектории струи жидкости; о форме, скорости и силе волн, действующих на суда и волноломы. Хотя в таких задачах обычно рассматривается течение воды под атмосферным слоем воздуха, аналогичные процессы гравитационного характера имеют место в случае течения более холодной (и, следовательно, более плотной) воды под более теплой, как и других жидкостей и газов разной плотности. Таким образом, водным потокам в реках аналогичны океанские течения и ветры, поскольку все гравитационные явления подчиняются одним и тем же законам гидроаэромеханики.

Гравитационное моделирование.

Число Фруда.

Хотя многие задачи такого рода решаются с приемлемой точностью, существует много других сложных задач, аналитическое решение которых пока невозможно. Тем не менее удовлетворительное решение ряда таких задач можно находить путем моделирования с использованием теории подобия. Влияние силы тяжести на картину потока характеризуется безразмерной величиной (критерием подобия), составленной из некой характерной скорости V, характерной длины L, разности Dg удельных весов верхней и нижней текущих сред и плотности r одной из них:

Эта величина называется числом Фруда. Очевидно, что в случае течения воды под атмосферным воздухом мы имеем просто

. Подобие будет обеспечено только в том случае, если число Фруда для модели равно числу Фруда для реального объекта (т.е., например, скорость модели судна должна быть уменьшена пропорционально квадратному корню из уменьшения размера). Такого рода экспериментальные исследования уменьшенных моделей – обычная практика при проектировании судов и речных гидротехнических сооружений; более того, в настоящее время методы моделирования распространяются на аналогичные гравитационные задачи метеорологии и океанографии.

Гидродинамика Эйлера и Навье-Стокса.

Выводя дифференциальное уравнение движения идеальной жидкости, Леонард Эйлер полагал, что силы, действующие на любую поверхность в ней, так же как и в неподвижной жидкости, перпендикулярны самой этой поверхности. Такое предположение позволило описать движение жидкости аналитически. Однако иногда теория идеальной жидкости Эйлера перестаёт работать.

Реальная жидкость отличается от идеальной тем, что она обладает внутренним трением, или вязкостью. Два соприкасающихся элемента жидкости, двигающиеся в одном и том же направлении, но с разными скоростями, воздействуют друг на друга. Сила взаимодействия ускоряет медленно движущийся элемент жидкости и замедляет более быстрый. Ньютон предположил, что величина этой силы (сила внутреннего трения) пропорциональна разности скоростей элементов жидкости. Закон вязкого трения Ньютона гласит, что сила внутреннего трения F пропорциональна изменению скорости жидкости v в направлении, перпендикулярном движению, и зависит от площади S соприкосновения элементов жидкости. Коэффициент пропорциональности в нём называется коэффициентом динамической вязкости ( n ).

F = n ^dv S

^dy

Жидкости, в которых внутреннее трение подобным образом зависит от изменения скорости, называются жидкостями с линейной вязкостью, или ньютоновскими жидкостями.

Величину коэффициента динамической вязкости Ньютон определил с помощью опыта: передвигая по поверхности жидкости плоскую пластину с разной скоростью, он заметил, что для поддержания определённой скорости требуется сила, которая при небольшой глубине жидкости оказалась прямо пропорциональна площади S и скорости пластины v и обратно пропорциональна глубине жидкости h.

F = n v S

Несмотря на то, что при увеличении глубины жидкости сила вязкого трения пластинки не становится исчезающе малой, эта формула довольно точно описывает взаимодействие между соприкасающимися элементами жидкости. Чем больше разность скоростей, тем больше сила, с которой они воздействуют друг на друга, заставляя притормаживать более быстрые элементы и разгоняя медленные. В результате относительное движение в жидкости прекращается.

В более строгой формулировке линейная зависимость вязкого трения от изменения скорости движения жидкости называется уравнением Навье-Стокса. Оно учитывает сжимаемость жидкостей и газов и справедливо не только вблизи поверхности твёрдого тела, но и в каждой точке жидкости. Любые газы, для которых выполняется условие сплошности, подчиняются уравнению Н-С, т. е. Являются ньютоновскими жидкостями.

Влияние вязкости на картину течения.

Вязкость жидкости и газа обычно существенна только при относительно малых скоростях, поэтому гидродинамика Эйлера – это частный предельный случай больших скоростей гидродинамики Стокса. При малых скоростях в соответствии с законом вязкого трения Ньютона сила сопротивления тела пропорциональна скорости. При больших скоростях, когда вязкость перестаёт играть существенную роль, сопротивление тела пропорционально квадрату скорости.

Этот критерий называется числом Рейнольдса и имеет вид.

число Рейнольдса – безразмерная величина, которая характеризует относительную роль сил вязкости.

Оно играет такую же роль в моделировании влияния вязкости, что и число Фруда при моделировании гравитационных эффектов, а потому служит основой опытов, проводимых в аэродинамических трубах с моделями самолетов, и градуировок расходомеров для жидкостей разной вязкости – в общем, при исследовании всех видов течений по трубам и с обтеканием тел во всех случаях, когда доминирует влияние вязкости. Если равенство чисел Фруда для модели и натурного объекта требовало уменьшения скорости модели в связи с ее уменьшенными размерами, то равенство чисел Рейнольдса, наоборот, требует, чтобы скорость модели увеличивалась с уменьшением ее размеров. Поэтому, чтобы не нужно было чрезмерно повышать скорость в экспериментах с уменьшенными моделями, часто применяют текучие среды с меньшей вязкостью или большей плотностью; так, в аэродинамических трубах нередко повышают давление до нескольких атмосфер, что позволяет снизить скорость за счет повышения плотности.