,
где
- производная модуля скорости;
- единичный вектор касательной, совпадающий по направлению со скоростью
.
Нормальное ускорение характеризует быстроту изменения скорости по направлению и направлено по нормали к траектории, к центру кривизны траектории в данной точке:
,
где R - радиус кривизны траектории,
- единичный вектор нормали.
В случае, если известны модули составляющих векторов, модуль вектора ускорения может быть найден по формуле
.
1.4. Вращательное движение и его кинематические характеристики
При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой, называемой осью вращения. Для характеристики вращательного движения вводятся следующие кинематические характеристики (рис. 3).
Угловое перемещение
- вектор, численно равный углу поворота тела
за время
и направленный вдоль оси вращения так, что если смотреть вдоль него, то поворот тела наблюдается происходящим по часовой стрелке.
Угловая скорость
- характеризует быстроту и направление вращения тела. Она равна производной угла поворота по времени и направлена вдоль оси вращения как угловое перемещение.
При вращательном движении справедливы следующие формулы:
;
;
.
Угловое ускорение
характеризует быстроту изменения угловой скорости с течением времени, равно
первой производной угловой скорости и направлено вдоль
оси вращения:
;
;
.
Зависимость
выражает закон вращения тела.
При равномерном вращении e = 0, w = const, j = wt.
При равнопеременном вращении e = const,
,
.
Для характеристики равномерного вращательного движения используют период вращения и частоту вращения.
Период вращения Т – время одного оборота тела, вращающегося с постоянной угловой скорости.
Частота вращения n - количество оборотов, совершаемых телом за единицу времени. Угловую скорость можно выразить через частоту:
.
Связь между угловыми и линейными кинематическими характеристиками (рис. 4):
2. Динамика поступательного и вращательного движения.
2.1. Законы Ньютона
Первый закон Ньютона: Всякое тело находится в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока воздействие со стороны других тел не выведет его из этого состояния.
Тела, не подверженные внешним воздействиям, называются свободными телами. Первый закон будет выполняться только в инерциальных системах отсчёта (ИСО). ИСО - система отсчёта, связанная со свободным телом, по отношению к ней любое свободное тело будет двигаться равномерно и прямолинейно или находиться в состоянии покоя. Из относительности движения следует, что система отсчёта, движущаяся равномерно и прямолинейно по отношению к ИСО, также является ИСО. ИСО играют важную роль во всех разделах физики. Это связано с принципом относительности Эйнштейна, согласно которому математическая форма любого физического закона должна иметь один и тот же вид во всех инерциальных системах отсчёта.
К основным понятиям, используемым в динамике поступательного движения, относятся сила, масса тела, импульс тела (системы тел).
Силой называется векторная физическая величина, являющаяся мерой механического действия одного тела на другое. Механическое действие возникает как при непосредственном контакте взаимодействующих тел (трение, реакция опоры, вес и т.д.), так и посредством силового поля, существующего в пространстве (сила тяжести, кулоновские силы и т.д.). Сила
характеризуется модулем, направлением и точкой приложения.Одновременное действие на тело нескольких сил
, 
,..., 
может быть заменено действием результирующей (равнодействующей) силы : = 
+ 
+...+ 
= 
.Массой тела называется скалярная величина, являющаяся мерой инертности тела. Под инертностью понимается свойство материальных тел сохранять свою скорость неизменной в отсутствии внешних воздействий и изменять её постепенно (т.е. с конечным ускорением) под действием силы. Массы всех тел определяются по отношению к массе тела, принятого за эталон.
Импульсом тела (материальной точки) называется векторная физическая величина, равная произведению массы тела на его скорость:
. Импульс системы материальных точек равен векторной сумме импульсов точек, составляющих систему:
.Второй закон Ньютона: скорость изменения импульса тела равна действующей на него силе:
.В частном случае (при постоянной массе): ускорение, приобретаемое телом относительно инерциальной системы отсчета, прямо пропорционально действующей на него силе и обратно пропорционально массе тела:
. Третий закон Ньютона: Силы, с которыми действуют друг на друга взаимодействующие тела, равны по величине и противоположны по направлению.
,где
- сила, действующая на 1-ую точку со стороны 2-ой, 
- сила, действующая на 2-ую точку со стороны 1-ой.Из третьего закона следует, что в любой механической системе материальных точек геометрическая сумма всех внутренних сил (т.е. сил, с которыми взаимодействуют между собой материальные точки системы) равна нулю.
2.2. Динамика вращательного движения твердого тела.
Вращательное действие силы характеризуется такой величиной, как момент силы относительно оси вращения
(рис. 5).Пусть М - точка приложения силы
, 
- радиус-вектор точки М, проведённый перпендикулярно оси вращения O'O. Разложим на три составляющие:
