Механічні й електромагнітні коливання (стр. 2 из 3)
З виразів (16) і (1) випливає, що пружинний маятник виконує гармонічні коливання за законом
з циклічною частотою 
і періодом 
Формула (17) справедлива для пружних коливань у межах, для яких виконується закон Гука, тобто коли маса пружини мала в порівнянні з масою тіла.
В цьому випадку потенціальна енергія пружинного маятника, згідно (13) дорівнює
(18)Фізичний маятник. Фізичний маятник – тверде тіло, яке під дією сили тяжіння виконує гармонічні коливання відносно нерухомої горизонтальної осі або підвісу, що не збігається з центром мас С тіла (рис. 5).
Якщо маятник відхилений від положення рівноваги на деякий кут
, то відповідно до основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла момент Μ сили Fτ, яка повертає маятник до положення рівноваги буде дорівнювати 
(19)де J - момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через точку О, l - відстань між точкою підвісу і центром мас маятника,
– сила, яка повертає маятник у попереднє положення, (знак мінус обумовлений тим, що зростання 
і швидкості 
завжди протилежні; sinα 
α відповідає малим коливанням маятника, тобто малим відхиленням маятника від положення рівноваги. 
Рис. 5
Рівняння (19) можна записати у вигляді
або
Приймаючи, що
одержимо рівняння 
ідентичне з (16), розв’язком якого є функція: 
(20)З виразу (20) випливає, що при малих коливаннях фізичний маятник виконує гармонічні коливання з циклічною частотою
і періодом 
(21)де
– приведена довжина фізичного маятника.Точка 0' на продовженні прямої 0С, яка відстоїть від осі підвісу на відстані приведеної довжини L, називається центром коливань фізичного маятника (рис. 5). Застосовуючи теорему Штейнера, можна показати, що 00' завжди більше 0С = l. Точка підвісу 0 і центр коливань 0' мають властивість взаємозамінності, якщо вісь підвісу перенести в центр коливань, то точка 0, в якій розміщувалась раніше вісь підвісу стане новим центром коливань і період коливань фізичного маятника не зміниться.
Математичний маятник. Математичний маятник – ідеалізована система, яка складається з матеріальної точки масою т, підвішеної на нерозтяжній невагомій нитці, і коливається під дією сили тяжіння (рис.6).
Гарним наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, підвішений на тонкій довгій нитці. Момент інерції математичного маятника дорівнює
(22)де l - довжина маятника.
Рис. 6
Так як математичний маятник можна подати як окремий випадок фізичного маятника, припустивши, що вся маса фізичного маятника зосереджена в одній точці – центрі мас, то, підставивши вираз (22) у формулу (21), одержимо знайомий вираз для малих коливань математичного маятника:
(23)Порівнюючи формули (23) і (21), бачимо, що якщо приведена довжина L фізичного маятника дорівнює довжині l математичного маятника, то їх періоди коливань збігаються. Отже, приведена довжина фізичного маятника – це довжина такого математичного маятника, період коливань якого збігається з періодом коливань даного фізичного маятника.
4. Вільні гармонійні коливання у коливальному контурі
Серед різних електричних явищ особливе місце займають електромагнітні коливання, при яких фізичні величини (заряди, струми, електричні і магнітні поля) періодично змінюються. Для виникнення і підтримування електромагнітних коливань необхідні певні системи, найпростішою з який є коливальний контур – ланцюг, який складається з увімкнених послідовно котушки індуктивністю L, конденсатора ємністю С і резистора опором R.
Розглянемо послідовні стадії коливального процесу в ідеалізованому контурі, опір якого безмежно малий
Для виникнення в контурі коливань конденсатор попередньо заряджають, надаючи його обкладкам заряди 
Q. Тоді в початковий момент часу 
(рис. 5, а) між обкладками конденсатора виникне електричне поле, енергія якого 
Замкнувши конденсатор на котушку індуктивності, він почне розряджатися й у контурі потече зростаючий з часом струм I. У результаті енергія електричного поля буде зменшуватися, а енергія магнітного поля котушки – зростати.
Так як
, то, відповідно до закону збереження енергії, повна енергія контуру буде дорівнювати 
тому що енергія на нагрівання провідників у такому коливальному контурі не витрачається. У момент часу
, коли конденсатор повністю розрядиться, енергія електричного поля зменшується до нуля, а енергія магнітного поля, а отже, і струм досягають найбільшого значення (рис. 5,б). Починаючи з цього моменту часу струм у контурі буде зменшуватися; отже, почне слабшати магнітне поле котушки й індукований у ній струм, який тече (відповідно до правила Ленца) у тому ж напрямку, що й струм розрядки конденсатора. Конденсатор почне перезаряджатися, при цьому виникне електричне поле, яке намагатиметься послабити струм, який зрештою зменшується до нуля, а заряд на обкладках конденсатора досягне максимуму (рис. 5, в). Далі ті ж процеси почнуть протікати в зворотному напрямку (рис. 5, г) і система до моменту часу t = Τ прийде в початковий стан (рис. 5, а). Після цього почнеться повторення розглянутого циклу розрядки і зарядки конденсатора.Якби втрат енергії не було, то в контурі відбувалися б періодичні незатухаючі коливання, тобто періодично змінювалися (коливалися) б заряд Q на обкладках конденсатора, напруга U на конденсаторі і сила струму I, яка тече через котушку індуктивності.
Отже, у контурі виникають електричні коливання з періодом Т, причому протягом першої половини періоду струм тече в одному напрямку, протягом другої половини – у протилежному. Коливання супроводжуються перетвореннями енергій електричних і магнітних полів.
Електричні коливання у коливальному контурі можна зіставити з механічними коливаннями маятника (рис. 7), які супроводжуються взаємними перетвореннями потенціальної і кінетичної енергій маятника.
У даному випадку потенціальна енергія маятника
аналогічна енергії електричного поля конденсатора 
, кінетична енергія маятника 
– енергії магнітного поля котушки 
, а швидкість руху маятника – силі струму в контурі.
Рис.7
Роль інерції маятника буде зводитися до самоіндукції котушки, а роль сили тертя, яке діє на маятник – до опору контуру.
Відповідно до другого правила Кірхгофа, для контуру, який містить котушку індуктивністю L, конденсатор ємністю С и резистор опором R маємо
,де IR – спад напруги на резисторі,
- напруга на конден-саторі, 
- е. р. с. самоіндукції, яка виникає в котушці при проті-канні в ній змінного струму ( 
- єдина е.р.с. у контурі).Отже,
. (24)Розділивши (24) на L і підставивши
і 
, одержимо диференціальне рівняння коливань заряду Q у контурі: