Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты (стр. 11 из 26)

(2.1.16)

Граничное условие (2.1.6) позволяет получить значение постоянной интегрирования

. Окончательно в пространстве изображений в нулевом приближении для пористого пласта получим

(2.1.17)

Введём обозначение для выражения, стоящего в квадратных скобках

(2.1.18)

при этом

(2.1.19)

С учетом (2.1.11) и (2.1.12) полное решение задачи в пространстве изображений представляется как

(2.1.20)

(2.1.21)

(2.1.22)

Для удобства перехода в пространство оригиналов, полученные решения с учётом (2.1.18) представим в форме

(2.1.23)

(2.1.24)

(2.1.25)

Переход в пространство оригиналов осуществим, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]:

где

- единичная функция Хевисайда

(2.1.26)

(2.1.27)

В нашем случае, совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде

(2.1.28)

(2.1.29)

(2.1.30)

соответственно для пористого, настилающего и подстилающего пластов.

Первый сомножитель в решении (2.1.28) – (2.1.30) описывает уменьшение плотности загрязнителя в результате радиоактивного распада, второй – функция Хевисайда, определяет радиус распространения зоны заражения и третий (выражение в фигурных скобках) учитывает изменение плотности из-за диффузии загрязнителя и радиоактивного распада продиффузирующего нуклида.

Рассмотрим упрощённую модель в которой не учитывается радиоактивный распад в накрывающем и подстилающем пластах. В этом случае в правых частях уравнений (1.5.51), (1.5.53) будет стоять нуль, граничные условия и условия сопряжения не изменятся. Аналогично, в пространстве изображений равны нулю правые части (2.1.1) и (2.1.3). Математическая постановка соответствующей задачи в пространстве изображений

, z > 1, r >0,

(2.1.31)

,|z| < 1, r >0,

(2.1.32)

,z < – 1, r >0,

(2.1.33)

(2.1.34)

(2.1.35)

(2.1.36)

(2.1.37)

Ход решения идентичен решению задачи с учётом распада в «кровле» и «подошве».

Учитывая граничные условия (2.1.34) и то, что в нулевом приближении плотность загрязнителя в пористом пласте не зависит от zи является функцией только от r и t, решения уравнений (2.2.31), (2.1.33) можно записать в виде

(2.1.38)

(2.1.39)

Тогда для следов производных, входящих в (2.1.32)

(2.1.40)

Подставляя найденные значения производных в уравнение (2.1.32), получим

(2.1.41)

Решение уравнения (2.1.41) с учётом граничного условия (2.1.36) имеет вид

(2.1.42)

Введём обозначение

(2.1.43)

Тогда полное решение задачи в пространстве изображений

(2.1.44)

(2.1.45)

(2.1.46)

Для удобства перехода в пространство оригиналов, решения с учётом (2.1.43) запишем в виде

(2.1.47)

(2.1.48)

(2.1.49)

Перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]

(2.1.50)

В нашем случае имеем

(2.1.51)

Совершив обратное преобразование Лапласа – Карсона, и перейдя в пространство оригиналов, решение задачи в нулевом приближении представим в виде

(2.1.52)

(2.1.53)

(2.1.54)

Учтём, что наиболее важные физические результаты обусловливаются нулевым приближением асимптотического разложения, первый и последующий коэффициенты определяют «поправки». Кроме того, в силу малости коэффициента диффузии (

~10^-9÷10^-11) распространение загрязнителя в водоупорных пластах в вертикальном направлении ничтожно (по сравнению с конвективном переносом в пористом пласте) и слабо влияет на размеры зоны заражения, поэтому проведём сравнение полученных результатов только для пористого пласта (2.1.28), (2.1.52).

На рис. 2.1 показана зависимость разности между плотностями загрязнителя в пористом пласте без учёта и с учетом радиоактивного распада в водоупорных пластах от координаты r. График 1 соответствует периоду полураспада Т_1/2=100 лет, 2 – 10 лет, 3 – 1 год. Вычисления проведены для времени

=30 лет, интенсивность закачки – 100 м³/сут.