Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты (стр. 13 из 26)
 | Рис. 2.7. Вклад диффузионного массообмена с окружающей средой от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки: 1– t= 0.1, 2– 1, 3– 10. At = 0,  ,  , Pd = 102 |
На рис 2.8 приведена зависимость плотности радиоактивного загрязнителя в нулевом приближении от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения Rd для различных времён закачки и постоянных распада. Причём, значения tи At выбраны таким образом, что t∙At=1. При этом графики плотностей оказываются весьма близкими друг к другу. Различие между ними определяется лишь наличием диффузионных процессов. Это подчёркивает физическую разумность выбранной системы обезразмеривания.
 | Рис. 2.8. зависимость плотности загрязнителя (нулевое приближение) от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки и постоянных распада 1– t= 0.1, At = 10, 2– t= 10, At = 0.1, 3– t= 100, At = 0.01, , , Pd = 102 |
Если строить зависимость
, то заметить «близость» графиков затруднительно, поскольку радиус зоны загрязнения растёт, согласно (2.1.55) пропорционально 
.2.3. Бездиффузионное приближение в задаче массообмена
В силу того, что отношение коэффициентов диффузии (
) и температуропроводности ( 
) является малой величиной порядка ~ 
÷ 
(см. (1.5.12)), появляется возможность упростить взаимосвязанную задачу тепломассопереноса, рассмотрев бездиффузионное приближение, суть которого заключается в пренебрежении диффузионными слагаемыми в соответствующей задаче массопереноса.Преимущество такого подхода в значительном упрощении процедуры построения решения тепломассообменной задачи. Однако, при использовании бездиффузионного приближения необходимо разрешение вопросов, связанных с оценкой его применимости.
Рассматривая найденное нами выражение для
(2.1.52) как функцию от 
, разложим его в ряд Маклорена по малому параметру , причём ограничимся первыми двумя членами разложения  . | (2.3.1) |
Из (2.2.1), учитывая, что
, получим  . | (2.3.2) |
Далее, вычислив производную
 | (2.3.3) |
и подставляя (2.3.2) и (2.3.3) в (2.3.1), окончательно получим
 . | (2.3.4) |
В случае бездиффузионного приближения в уравнении (1.5.41) сразу пренебрегаем диффузионной составляющей, и оно принимает вид
 | (2.3.5) |
или, проведя преобразование Лапласа – Карсона, в пространстве изображений
 . | (2.3.6) |
Решение этого уравнения (в пространстве оригиналов)
 , | (2.3.7) |
что совпадает с нулевым приближением (по
) для задачи массопереноса с учётом вертикальной диффузии.Относительная погрешность, возникающая при пренебрежении вторым слагаемым в квадратных скобках в выражении (2.3.4), и определяет погрешность бездиффузионного приближения
 . | (2.3.8) |
Анализ рис.2.9, на котором показана зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, показывает, что за время 
~30 лет погрешность данного приближения на расстояниях до 0,9Rdне превышает нескольких процентов и лишь для значительных времён ~300 лет, на расстояниях бóльших 0,7Rd становится существенной. Причём данные результаты не зависят от среднего времени жизни нуклида.
 | Рис. 2.9. Зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1– t= 0.1, 2– 1, 3– 10, 4– 100. Pd = 102,  |
Если при расчётах полагать, что
, то на расстоянияхдо 0,9Rdдля τ £300 лет погрешность бездиффузионного приближения не превышает 5%. Это позволяет во многих практических задачах использовать бездиффузионное приближение.Расстояние от скважины, на котором можно пользоваться бездиффузионным приближением, естественно назвать «радиусом бездиффузионного приближения». Аналогично можно ввести понятие «время бездиффузионного приближения».
На рис. 2.10 приведены результаты расчётов плотности
радиоактивных примесей для бездиффузионного приближения в зависимости от относительного расстояния до скважины. Параметр Pd при расчётах принимался равным 102.  | Рис. 2.10. Зависимость относительной погрешности бездиффузионного приближения от расстояния до оси скважины, отнесенного к радиусу зоны загрязнения, при различных временах закачки 1– t= 0.1, 2– 1, 3– 10, 4– 100. Pd = 102,  |
Кривые, приведённые на рис. 2.11 рассчитаны для значения безразмерного времени t = 10.При отсутствии диффузии уменьшение концентрации загрязнителя происходит только в результате радиоактивного распада. Поэтому в случае Аt = 0 плотность
постоянна па всём участке вплоть до фронта загрязнителя (положение которого задаётся функцией Хевисайда), где скачком падает до нуля (кривая 1). Вид кривых 2 – 4 определяется радиоактивным распадом.  | Рис. 2.11. Зависимость плотности  радиоактивных примесей от расстояния до оси скважины, отнесённого к радиусу зоны загрязнения для безразмерного времени t = 10 при различных постоянных распада: 1– At= 0, 2– 0.01, 3– 0.1, 4– 1.Pd = 102, |
2.4. Решение задачи массообмена в первом приближении
Выпишем ещё раз полученную в разделе 1.5.4 математическую постановку задачи массообмена для коэффициентов первого приближения, пренебрегая радиоактивным распадом в водоупорных пластах