Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты (стр. 14 из 26)

(2.4.1)

,

(2.4.2)

,

(2.4.3)

начальные условия, условия сопряжения и граничные условия

,

(2.4.4)

, ,

(2.4.5)

, , ,

(2.4.6)

.

(2.4.7)

Напомним, что решение

отыскивается в форме квадратного многочлена относительно z

,

(2.4.8)

где

,

(2.4.9)

.

(2.4.10)

Определение

сводится к решению уравнения

,

(2.4.11)

где введён оператор

.

(2.4.12)

Перейдём далее к пространству изображений (преобразование Лапласа – Карсона). При этом оператор

принимает вид

.

(2.4.13)

Выражение (2.4.11) в пространстве изображений

.

(2.4.14)

Имеет смысл сначала найти в пространстве изображений выражения

и . Воспользовавшись аналогами (2.4.9) и (2.4.10) в пространстве изображений, а также (2.1.48), (2.1.49), получим

,

(2.4.15)

.

(2.4.16)

Далее

,

(2.4.17)

.

(2.4.18)

Выражение (1.10.7), в пространстве изображений представляется как

.

(2.4.19)

Решения уравнений (2.4.2) и (2.4.3) почти ничем не отличаются от решений соответствующих уравнений в нулевом приближении, поэтому в пространстве изображений справедливы соотношения

, .

(2.4.20)

Заметим, что в первом приближении

зависит от z. Это же справедливо и для изображений.

Из (2.4.19) получим для первого коэффициента разложения

,

(2.4.21)

.

(2.4.22)

Подставляя в (2.4.14) выражения (2.4.15) – (2.4.18) и (2.4.20) – (2.4.22), после упрощений получим

.

(2.4.23)

Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид

.

(2.4.24)

Подставляя найденное значение в (2.4.23) и считая, что

, получим дифференциальное уравнение

,

(2.4.25)

решение которого

.

(2.4.26)

Из (2.4.24) и (2.4.26) выражение для

.

(2.4.27)

Для нахождения

воспользуемся дополнительным интегральным условием (1.5.101) которое для коэффициентов разложения первого порядка в пространстве изображений имеет вид

.

(2.4.28)

Здесь

– среднее по z значение , определяемое с помощью (2.4.19) стандартным образом:

(2.4.29)

Тогда в пространстве изображений получим

,

(2.4.30)

или, с учётом (2.4.15)

.

(2.4.31)

Сравнивая с (2.4.27), определим

.

(2.4.32)

окончательно для

имеем в пространстве изображений

.

(2.4.33)

Наконец, подставив (2.4.15), (2.4.16) и (2.4.33) в (2.4.19) получим выражение для первого коэффициента в пространстве изображений

(2.4.34)

Скомпонуем последнее выражение удобным образом (учитывая необходимость перехода в пространство оригиналов)

(2.4.35)

Раскрывая

в соответствии с (2.1.43), перейдем в пространство оригиналов, используя формулы обратного преобразования Лапласа – Карсона [23]

,

.

(2.4.36)

В нашем случае

,

(2.4.37)

.

(2.4.38)

Наконец, справедливо следующее соотношение

.

(2.4.39)

Воспользовавшись (2.3.36) – (2.3.39), из (2.3.35) получим выражение для первого коэффициента разложения в форме