Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты (стр. 19 из 26)
 ,  , | (2.6.49) |
 , | (2.6.50) |
 ,  ,  , | (2.6.51) |
 , | (2.6.52) |
 ,  ,  | (2.6.53) |
Усредним задачу по толщине пласта. При усреднении второй производной по вертикальной координате воспользуемся условиями сопряжения (2.6.49)
 | (2.6.54) |
Окончательно постановка усредненной задачи для остаточного члена с учетом (2.6.54) представится как
 , | (2.6.55) |
 | (2.6.56) |
 , | (2.6.57) |
с граничными условиями и условиями сопряжения
 , | (2.6.58) |
 ,  , , | (2.6.59) |
 , | (2.6.60) |
 ,  ,  . | (2.6.61) |
Усредненная задача для остаточного члена (2.6.55) – (2.6.61) имеет тривиальное решение тогда и только тогда, когда
 , | (2.6.62) |
и
 , | (2.6.63) |
то есть, когда в усредненной задаче для остаточного члена отсутствует источник и средние значения нулевого коэффициента разложения на поверхности задания граничных условий обращается в нуль.
В справедливости последнего уравнения легко убедиться, усреднив (2.6.35) с учетом условий сопряжения (2.6.34). Следовательно, если заменить граничное условие для
на среднеинтегральное  , | (2.6.64) |
то рассматриваемый метод решения обеспечивает возможность обращения в нуль решения усреднённой задачи для остаточного члена асимптотического разложения. Это, естественно, повышает ценность решения для практических приложений. В силу этого целесообразно в асимптотических решениях выделить соответствующий класс решений. Асимптотическое приближение параметризованной задачи, полученной из (2.6.4) – (2.6.10), построенное при условии, что решение усредненной задачи для остаточного члена является тривиальным, назовем точным в среднем асимптотическим решением.
Для точного в среднем решения из дополнительного граничного условия (2.6.64) и выражения для первого коэффициента разложения (2.6.22) получим
 . | (2.6.65) |
Откуда
 . | (2.6.66) |
Подставляя полученное таким образом выражение
в (2.6.22), для первого коэффициента разложения получим  | (2.6.67) |
 ,  . | (2.6.68) |
В первом приближении решение стационарной задачи имеет вид
 ,  ,  , | (2.3.69) |
где
и 
определяются выражениями (2.4.26), (2.4.28) и (2.4.67), (2.4.68)2.7. Анализ результатов расчёта стационарной задачи
На рис.2.34 представлены графики зависимости стационарного распределения примесей в нулевом приближении от расстояния до оси скважины. Нулевое приближение в данном случае является наиболее значимым, оно определяет общий вид зависимости
. При этом величина плотности загрязнителя спадает по экспоненциальному закону и, как следует из графиков, даже для среднеживущих и наиболее опасных радионуклидов (90Sr, 137Cs) на расстояниях 200 h оказывается порядка процентов от максимальной, наблюдающейся в зоне закачки.  | Рис. 2.34. Зависимость плотности радиоактивных примесей в пористом пласте для стационарного случая (нулевое приближение) от расстояния до скважины при различных постоянных распада: 1– At= 0.01, 2– 0.1, 3– 1. Другие расчётные параметры Pd = 102,  ,  |
На рис 2.35 отражена картина распределения поля радиоактивного загрязнителя в стационарном случае вдоль вертикальной координаты (нулевое приближение). «Срезы» приведены для расстояний 0, 100h и 200h от оси скважины. Видно, что для среднеживущих нуклидов (Т1/2 ~ 30 лет) в настилающем и подстилающем пластах плотности загрязнителя быстро спадают, и уже на расстояниях 0,5h становятся ничтожно малыми.
 | Рис. 2.35. Зависимость плотности радиоактивных примесей для стационарного случая (нулевое приближение) от координаты zпри различных расстояниях до скважины: 1– r = 0, 2– 100, 3– 200. Другие расчётные параметры At= 0.01, Pd = 102, , |
В общем случае, увеличение параметра Pd приводит к «вытянутости» графика вдоль радиального направления, уменьшение At (что соответствует увеличению среднего времени жизни нуклида) – к «расширению» графика вдоль осей rи z. При этом поле загрязнителя остаётся ограниченным в пространстве.
2.8. Сравнение результатов аналитического решения
с численными и с экспериментом
На рис. 2.36 приведены результаты, полученные с помощью модифицированного метода асимптотического разложения и результаты решения задачи массопереноса методом сеток. При этом численным методом решалась задача (1.5.14) – (1.5.21), т.е. также в пренебрежении радиальной диффузией.
Разностные схемы задачи:
, 
, 
, 
.  | Рис. 2.36. Зависимость плотности радиоактивного загрязнителя от расстояния до оси скважины. Графики построены (для безразмерного времени t = 100): методом сеток – 1 и методом асимптотического разложения – 2. Другие расчётные параметры At= 0.1, Pd = 102,  , |
Сравнения кривых, приведённых на рис. 2.36 позволяет сделать вывод о хорошем соответствии результатов, полученных численными методами и аналитическими вычислениями.