Моделирование процессов тепло- и массопереноса при закачке радиоактивных растворов в глубокозалегающие пласты (стр. 22 из 26)

Рис. 3.3. Зависимость нулевого приближения температуры от вертикальной координаты, для момента времени t = 10. Графики построены для постоянной распада At = 0.3 и для различных значений r: 1– r = 0, 2– 1, 3– 5, 4 – 10, 5 – 20, 6 – 30, 7 – 40. Другие расчётные параметры , , , , Кг = 20, m= 0.4, Pt = 102

3.4. Решение задачи теплообмена в пространстве изображений
в первом приближении

Постановка первого приближения задачи теплообмена была осуществлена в 1.4.4. Выпишем полученные там уравнения ещё раз, переобозначив их для удобства.

,	(3.4.1)
,	(3.4.2)
.	(3.4.3)

Граничные условия и условия сопряжения

, ,	(3.4.4)
, ,	(3.4.5)
,	(3.4.6)
,	(3.4.7)
, , .	(3.4.8)

Решение

отыскивается в виде квадратного многочлена относительно z

,

(3.4.9)

причём

,	(3.4.10)
,	(3.4.11)

а значение

нам ещё предстоит найти.

Система (3.4.1) – (3.4.8) и определяет постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь

также зависит от плотности загрязнителя, что определяется выражениями для , .

Для нахождения

перепишем (3.4.3) в виде

,

(3.4.12)

где введён оператор

.

(3.4.13)

Учитывая (3.4.9) и (3.4.12), а также линейность оператора

, получим

(3.4.14)

Проинтегрируем последнее выражение

(3.4.15)

Как видно из (3.4.15), в первом приближении задача теплопереноса в общем случае уже зависит от первого приближения плотности радиоактивного загрязнителя. В силу громоздкости получающихся выражений ограничимся решением этой задачи в общем случае в пространстве изображений (преобразование Лапласа – Карсона).

Перейдём сразу в пространство изображений, воспользовавшись преобразованием Лапласа – Карсона. При этом последнее уравнение принимает вид

(3.4.16)

Причём оператор

в пространстве изображений представится как

,

(3.4.17)

а

определяется выражением (2.1.47).

Учитывая условия сопряжения (3.4.4), остающиеся справедливыми и в пространстве изображений, получим из (3.4.16)

(3.4.18)

и

(3.4.19)

Умножая (3.4.18) на

и вычитая (3.4.19), получим

(3.4.20)

Выразим из (3.4.20)

(3.4.21)

В пространстве изображений (3.4.9) принимает вид

(3.4.22)

где

	(3.4.23)
	(3.4.24)

Решения уравнений

,	(3.4.25)
,	(3.4.26)

соответствующих (3.4.1), (3.4.2) в пространстве изображений, с учётом условий регулярности и сопряжения, принимают вид

,	(3.4.27)
.	(3.4.28)

При этом следы производных из внешних областей представятся как

, ,

(3.4.29)

что позволяет переписать (3.4.21) в виде

(3.4.30)

Из (3.3.9) в пространстве изображений определены граничные значения первого коэффициента

(3.4.31)

(3.4.32)

Подстановка (3.4.31), (3.4.32) в (3.4.30) даёт уравнение для определения

.

(3.4.33)

Действительно, значения всех величин и выражения для всех переменных, входящих в (3.4.33), за исключением

нам известны. При решении этого уравнения появится постоянная интегрирования, значение которой может быть найдено с использованием нелокального интегрального условия аналогично нахождению первого коэффициента разложения в задаче массопереноса.