пластах, а также уравнение конвективного переноса с учётом радиоактивного распада в пористом пласте
Сомножитель при
во втором слагаемом в левой части уравнения (1.4.3) в развёрнутом виде
Условия сопряжения включают в себя равенство температур
и потоков тепла на границах раздела пластов
В уравнениях (1.4.1) – (1.4.3) учтено, что плотность радиоактивного нуклида в данной точке пространства определяется суммой плотностей в носителе и в скелете, которые связаны соотношением (1.3.4).
В начальный момент времени температура пластов
является естественной невозмущённой температурой Земли на данной глубине. Рассматривая глубины, превышающие порог влияния сезонных температур (~100 м), будем считать, что в силу малой величины градиента температурного поля Земли (~0.01 К/м) и небольшой толщины пористого пласта (~10 м)
Температура загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстоянием до точки наблюдения, равна
Будем в дальнейшем искать превышение температуры в пластах над естественной температурой, выраженное в единицах геотермической температуры в пористом пласте
.
При решении задачи удобно перейти к безразмерным координатам, определяемым соотношениями
Сразу заметим, что в силу (1.3.7)
Безразмерный параметр At представляет собой отношение времени тепловой релаксации слоёв к среднему времени жизни радиоактивного нуклида. Выражение Pt является аналогом параметра Пекле, поскольку определяется аналогично последнему, но через температуропроводность настилающего, а не несущего пласта. Величина
определяет отношение изменения температуры, вызванного «мгновенным» распадом радиоактивного нуклида к разности температур закачиваемой жидкости и естественной геотермической температуры пласта.
Для больших
температурное поле определяется в основном энергией радиоактивного распада, для малых – конвективным переносом тепла, обусловленного различием температур закачиваемой жидкости и пласта.
В силу большого значения аналога параметра Пекле (Рt ~
), в пористом пласте можно пренебречь радиальной кондуктивной теплопроводностью по сравнению с конвективным переносом тепла.
Аналогично, для настилающего и подстилающего пластов изменение радиальной составляющей температурного поля будет в значительной мере определяться конвективным переносом тепла в пористом пласте, что позволяет пренебречь для них вкладом соответствующих радиальных теплопроводностей.
Таким образом, во всех уравнениях, получающихся из (1.4.1) – (1.4.3) исчезнут слагаемые, содержащие
и интересующие нас уравнения запишутся в виде (соответственно для настилающего, подстилающего и пористого пластов):
а условия сопряжения, граничные и начальные условия принимают вид
Уравнения и равенства (1.4.10) – (1.4.17) представляют математическую постановку задачи теплопереноса.
Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра
путем формальной замены
на
и, соответственно,
на
, а
на
. Задача (1.4.10) – (1.4.17) является, таким образом, частным случаем более общей задачи при
.
Будем искать решение задачи (1.4.18) – (1.4.25), разлагая каждое
в ряд по параметру
. При этом асимптотические формулы с остаточным членом для данных разложений имеют вид
.
, 
.
, 
.
.
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
.
,
,
,
,
, 
,
,
, 
, 
,
, 
, 
.
,
,
,
,
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
.