Решение исходной задачи будет получено из решения параметризованной задачи при
. Подставив (1.4.26) в (1.4.18) – (1.4.25) и сгруппировав слагаемые по степеням параметра разложения
, получим следующую постановку параметризованной задачи (вместе с граничными условиями)
При этом плотность загрязнителя, входящая в (1.4.27) – (1.4.29), также будет разлагаться по параметру асимптотического разложения
, причём это разложение производится независимо от разложения (1.4.26), хотя и по тому же принципу.
Из (1.4.29) для коэффициентов при
(нулевое приближение) получим
, тогда
. Таким образом, в нулевом приближении температура загрязнителя является функцией только от
r и
t. Из условий сопряжения (1.4.30)
. Следовательно, температура загрязнителя в каждом вертикальном сечении одинакова по всей высоте несущего пласта
. Приравнивая коэффициенты при
к нулю в уравнении (1.4.29), получим
Сумму первых двух слагаемых в правой части этого уравнения, не зависящую от z, обозначим через
Тогда
следовательно,
При z= 1, воспользовавшись (1.4.30)
при z= – 1
Вычитая и складывая два последних уравнения, получим для функций
и
следующие выражения:
Проинтегрировав (1.4.38), получим
здесь
функция, не зависящая от
z, значение которой предстоит найти.
Подставив выражение
из (1.4.41) в (1.4.36), получим для нулевого приближения уравнение гиперболического типа со следами производных из внешних областей
Окончательная постановка задачи в нулевом приближении наряду с (1.4.44) включает также уравнения для окружающих сред, начальные, граничные условия и условия сопряжения
Последнее слагаемое в правой части уравнения (1.4.44) устанавливает изменение температуры за счёт энергии, выделяющейся при радиоактивном распаде. Отметим, что температурное поле в нулевом приближении определяется не значениями плотностей радиоактивного загрязнителя в точках, а усреднёнными значениями по вертикальной координате в интервале пласта. Как будет показано ниже, усреднённое таким образом значение плотности совпадает с нулевым приближением соответствующей задачи массопереноса (см. пункт 1.5.3).
Для определения в нулевом приближении поля температур в среде, как следует из (1.4.44) – (1.4.50), необходимо задание функции плотности радиоактивного загрязнителя. Постановка этой задачи осуществлена в пункте 1.5, а её решению посвящена глава II.
Уравнения (1.4.27), (1.4.28) для коэффициентов при
(первое приближение) принимают вид Для коэффициентов при
в (1.4.29)