Условия сопряжения, начальные и граничные условия
Решение
отыскивается в виде квадратного многочлена относительно
z(1.4.43), где
и
определяются как (1.4.41), (1.4.42), а значение
предстоит найти.
Уравнения (1.4.51) – (1.4.58) определяют постановку задачи теплообмена в первом приближении. Здесь
также зависит от плотности загрязнителя, что обусловливается выражениями для
,
.
Геометрия задачи массопереноса практически ничем не отличается от температурной задачи и представлена на рис. 1.2.
Математическая постановка задачи массопереноса для всех областей включает уравнение диффузии с учётом радиоактивного распада в покрывающем
и подстилающем
пластах, а также уравнение конвективной диффузии с учётом радиоактивного распада в пористом пласте
При этом граничные условия включают в себя равенства плотностей и потоков растворённого вещества на границах раздела пластов
Плотность загрязнителя в скважине, радиус которой мы считаем малым по сравнению с расстояниями до точки наблюдения, равна
, т.е.
В начальный момент времени полагаем плотность загрязнителя равной нулю
Кроме того, на бесконечности выполняются условия регулярности
Перейдём к безразмерным координатам (1.4.8). При этом получим следующую постановку задачи: для покрывающего пласта
для пористого пласта
для подстилающего пласта
При этом во втором слагаемом в левой части уравнения (1.5.9) появляется отношение коэффициента диффузии к коэффициенту температуропроводности
величина которого оказывается порядка ~
÷
.
Вновь, как и в задаче теплопереноса, последнее слагаемое в левой части уравнения (1.5.10) содержит сомножитель Рd который при существующих объёмах закачки имеет порядок ~ 102, так что конвективная составляющая (вдоль координаты r) для поля концентраций оказывается много значимей, чем диффузионная составляющая. Поэтому в уравнениях (1.5.9) – (1.5.11) пренебрежём молекулярной диффузией вдоль оси r.
Вводя обозначения
выпишем окончательно интересующие нас уравнения:
Условия сопряжения, граничные и начальные условия при этом принимают вид
Уравнения (1.5.14) – (1.5.21) определяет математическую постановку задачи массопереноса.
Рассмотрим более общую задачу, получающуюся введением произвольного асимптотического параметра
путём формальной замены коэффициента диффузии
на частное
. В соответствии с принятыми обозначениями это отвечает следующим заменам:
,
. Задача (1.5.14) – (1.5.16) становится, таким образом, частным случаем (при
) более общей задачи, содержащей параметр асимптотического разложения как в уравнении для пласта, так и в условиях сопряжения:
с условиями сопряжения, граничными и начальными условиями