Нейтринные осцилляции (стр. 2 из 7)

Теперь рассмотрим временную эволюцию лучей нейтрино, которые являются суперпозицией как

так и или наоборот и . Эволюционное уравнение будет выглядеть проще на основе :

( 1.3)

H – гамильтониан, диагональный в этом базисе:

( 1.4)

Примем, что

, где α=1,2. В этом случае можно написать

( 1.5)

По той же причине мы можем использовать расстояние x, пройденное нейтрино, вместо времени t, в качестве независимой переменной. Разница между t и x введёт высший порядок коррекции в

. Так, пространственная эволюция нейтринных лучей регулируется гамильтонианом:

( 1.6)

где

-диагональная матрица Паули, и

( 1.7)

Далее будем писать уравнение в флэйворном базисе. Это проще сделать используя рав, и равенство

:

( 1.8)

которая даёт следующие уравнение движения флэйворного состояния:

( 1.9)

Для двух дираковских нейтрино:

( 1.10)

Поэтому получим гамильтониан в флэйворном базисе в следующем виде:

( 1.11)

Отсюда можно вывести соотношение между диагонализирующим углом

и элементами матрицы :

( 1.12)

Так как

не зависит от x, мы можем формально интегрировать уравнение движения. Получим:

( 1.13)

Сделаем несколько упрощений. Во-первых, будем писать E вместо

. Во-вторых, заметим, что если в существуют слагаемые пропорциональные единичной матрице, то они дают общую фазу для решения. Более того, такие слагаемые не затрагивают угол смешивания, как это видно из уравнения (1.12). Так, как такие слагаемые не относятся к делу, ими можно пренебречь. Тогда получим, что:

( 1.14)

( 1.15)

Поэтому:

( 1.16)

Вероятность обнаружить

и в начальном - луче:

( 1.17)

( 1.18)

Заметим, что вероятность найти

<1. Грибов и Понтекорво предположили, что это должно вести к истощению солнечных нейтрино.

Используя равенство (1.18),чтобы представить результаты по солнечным нейтрино, нужно положить

- расстояние от Земли до Солнца. Если мы знаем , то можем вычислить вероятность жизни для нейтрино любой энергии Е. Поскольку любой эксперимент замеряет спектр энергии. Поэтому, чтобы получить вероятность жизни для всего луча, нужно интегрировать по этому спектру. Введём обозначение:

( 1.19)

где

- усреднение по энергии. Для реального эксперимента выживание даётся:

( 1.20)

Величена

, конечно, различна для разных экспериментов.

1.2. Осцилляции нейтрино в сплошной среде

В предыдущем разделе мы принимали, что нейтрино проходят через вакуум, который является хорошой апроксимацией пути между Солнцем и Землёй. Но нейтрино рождаются глубоко внутри Солнца, и сначала они должны пройти солнечную материю, перед тем как выйти наружу. Осцилляции в Солнце или в любой другой среде могут существенно отличатся от сцилляций нейтрино в вакууме. Основной причиной этого является то, что в среде видоизменяется дсперсионное соотношение частиц, проходящих через среду.

Это явление хорошо известно для фотонов. Они безмассовы в вакууме, так что их дисперсионное отношение просто

. В среде, однако, дисперсионное отношение более сложное, что может быть объяснено тем, что фотон приобретает эффективную массу. Из-за этого, он не распространяется в среде со скоростью .

Солнечная среда неоднородна. Рассмотрим прохождения нейтринного пучка через однородную среду.

Чтобы это решить [1], мы примем нейтрино рассеивающимися материей. Солнечная материя состоит из электронов, протонов и нейтронов. Конечно, электронное нейтрино взаимодействует только с электроном. Мюонное нейтрино, может взаимодействовать только с мюонами, но температура солнечного ядра недостаточно высокая, чтобы удовлетворять этим условиям. Поэтому, нужно учитывать вклад только для

. Феймановская диаграма этого процесса дана на рис. 2.

Рисунок 2.

Если учесть зарядовые и нейтральные токовые вклады, то получим следующий гамильтониан:

( 1.21)

где

( 1.22)

( 1.23)

где

и - концентрация электронов и нейтронов соответственно.

Значение этих слагаемых понятно, если мы напишем уравнение Дирака:

( 1.24)

Перепишем его как:

( 1.25)

Возводя в квадрат обе части, в итоге получим:

( 1.26)

Таким образом, V добавляется к энергии. В этом смысле V может быть названо потенциальной энергией. Поэтому, мы её представили со знаком минус в уравнении эффективного лагранжиана.

Эволюционное уравнение в материи тогда даётся:

( 1.27)

где Гамильтониан даётся как:

( 1.28)

где

- вакуумная часть, данная (1.11). Так

( 1.29)

где

, как и выше, обозначения для амплитуды 3-импульса нейтринного пучка и

( 1.30)