Ефект Доплера в класичній та релятивійській теорії (стр. 4 из 5)
Хай приймач знаходиться в точці В і джерело S1 рухається із швидкістю
уздовж лінії S1В, що сполучає джерело з приймальним приладом (рис. 4). 
рис.4
Хвиля, випущена в момент t1, коли, джерело знаходиться на відстані S1В = а від приладу, досягне останнього до моменту
;хвиля, випущена у момент
, досягне приймача у момент 
бо до моменту t2 відстань між джерелом і приладом зробиться рівною (а+
) або (а — 
) залежно від напряму руху. Отже, хвилі, випущені джерелом за час 
, діють на прилади протягом часу 
.Якщо
— частота, джерела, то за, час 
їм буде випущено N = 
хвиль і, отже, частота сприймана приладом, є 
. Вона рівна 
- в разі видалення джерела,(18) 
- в разі наближення джерела.Оскільки швидкість хвилі в середовищі визначається властивостями останньою, тобто не залежить від руху джерела і залишається рівною с, то в розглянутому випадку обов'язково повинно мати місце зміна довжини хвилі.
Якщо позначити через
довжину хвилі, спостережувану у відсутність руху джерела, а через 
— довжину хвилі, що сприймається в разі руху джерела, то знайдемо 
, 
. (19)Отже, при русі джерела в середовищі швидкість хвилі відносно приладу, що знаходиться в цьому середовищі, залишається постійною, а, частота і довжина хвилі, що сприймаються приймачем, змінюються. Іншими словами, досвід типа досвіду, Фізо дає для швидкості акустичної хвилі те ж значення, що і при нерухомому джерелі звука, а інтерференційний досвід — змінену довжину хвилі; це ж відноситься і до частоти, котра у випадку акустичних хвиль може спостерігатися безпосередньо, наприклад, шляхом порівняння з сиреною, звучною в унісон.
б) Приймач рухається відносно середовища із швидкістю
, швидкість хвилі в середовищі рівна с (рис. 5). 
Рис. 5
Повторюючи міркування, приведені вище, ми повинні були б для
1 і 2 написати відповідно: 
, 
бо зближення між хвилею і приладом відбувається з швидкістю
(швидкість хвилі відносно приладу) (див. рис. 5). Таким чином, 
,і частота, що сприймається приймачем, буде рівна
- в разі видалення приладу,(20) 
в разі наближення приладу,При русі приймача швидкість хвилі відносно його складається з швидкості хвилі відносно середовища і швидкості приладу відносно середовища, тобто рівна
.Довжина хвилі, сприймана приймачем, залишається, таким чином, незмінною. Дійсно,
(21)Отже, в разі руху приймача частота і швидкість хвилі відносно приладу міняються, але довжина хвилі, сприймана їм, залишається незмінною.
Рис.6
Досліди за визначенням швидкості звуку, його частоти і довжини звукової хвилі могли б підтвердити сказане.
Виведені формули відносяться до випадку, коли, спостереження виробляється уздовж лінії BS, по якій відбувається рух джерела або приладу, Якщо напрям спостереження складає кут
з напрямом руху, то в наших міркуваннях потрібно зробити невеликі зміни. По-перше, при русі приймача, замість 
слід підставити 
, бо саме ця величина, дає в даному випадку швидкість зближення хвилі і приладу (мал.6); по-друге, у вираження для 
замість (а ± 
) увійде, (а ± 
) бо ВS2 = BS1±S1S2cos . При цьому передбачається, що мало в порівнянні з S1В=a. Таким чином, остаточні результати відповідають заміні 
на cos 
, тобто введенню складаючої швидкості уздовж лінії SB (променева швидкість). Остаточно отримаємо:
- в разі руху джерела , (22) 
- в разі руху приладу. (23)Отже, для випадку руху в середовищі ми маємо дві різні формули, які відрізняються один від одного, множником
,тобто множником, що відрізняється від одиниці на величину другого порядку малості (відносно
/с)*).Для більшості випадків, що розглядаються в акустиці, відмінність ця невелика, і нею часто нехтують. Але воно має принципове значення, і, крім того, при сучасних технічних засобах досягає нерідка і практично сповна помітних величин. Так, сучасні літаки можуть розвивати швидкість близько 1000 км/год і більше, так що
/с досягає 80 % і відмінність в двох приведених вище формулах стає значною. Якщо прилад рухається відносно середовища із швидкістю 
, а, джерело — з швидкістю u, то неважко встановити формулу, що описує стан речей для цього випадку. Передбачаючи, що обидва вони рухаються в один бік, наздоганяючи один одного, отримаємо, послідовно застосовуючи виведені вище формули, 
(24)При u =
знайдемо 
сповна строго.Таким чином, якщо джерело і прилад рухаються спільно (тобто нерухомі один відносно одного), то явище Допплера не має місця. Але якщо
u, то явище Допплера, відбувається, причому спостережувана зміна частоти залежить не від різниці u - , а від самих величин u і . Тому в даному випадку це явище дозволяє визначити не лише швидкість джерела відносно приладу, але і швидкість джерела, і приладу відносно середовища.У 1845 р. явище було вивчене експериментально (Бейс — Баллот), і теоретичні формули перевірені кількісно шляхом спостереження зміни висоти звуку музичного інструменту, звучного на платформі поїзда, що проноситься мимо станції. Зміна висоти звуку спостерігачі, музиканти, оцінювали на, слух. Досліди були повторені пізніше при швидкості поїзда до 120 км/год.
2.2 Явище Доплера в оптиці