Оценки спектральных радиусов (стр. 12 из 13)

- интегральный оператор в пространстве

. Вычисление или получение оценок нормы оператора Т является важной и сложной задачей теории операторов [19]. Так, если Т(x,y) – симметричное ядро, то норма интегрального оператора в

совпадает с его спектральным радиусом, который, в свою очередь, в приложениях связан с резонансными явлениями описываемых объектов. В связи с этим, нужно не только вычислять, но и как-то «управлять» нормой оператора.

Рассмотрим достаточные условия ограниченности интегрального оператора (7), действующего из пространства

. Обозначим через

функцию множеств

Имеет место

Лемма 1. ([19]) Пусть

- пространство Лоренца, М – множество всех компактов из области G. Тогда

Теорема 2.Пусть

,
,
,
. Функция T(x,y) такова, что конечно одно из выражений

(8)

. (9)

Тогда соответствующий интегральный оператор Т ограничен из

в
, и

(10)

Если же

или
, то, соответственно,

~
,
.(11)

Доказательство.

Пусть

. Из леммы следует

Применим неравенство Гельдера для пространств Лоренца и лемму 1:

Пусть теперь

. Из теоремы И. Стейна и Г. Вейса [28] следует, что

≤

Воспользуемся леммой 1, получим

≤

Но при

≤

Таким образом, верно

. (12)

Докажем теперь неравенство

. (13)

Пусть

. Из определения нормы интегрального оператора, неравенства Гельдера и леммы 1 при

следует

При

, следовательно, оценка (13) в этом случае следует из (12).

Докажем вторую часть теоремы. Пусть

, тогда

Таким образом, из леммы 1 следует,

Если теперь

, то, так же используя лемму 1, получим

Теорема доказана.

Теорема 3.Пусть

. Если

(14)

то интегральный оператор Т ограничен из

в
и

причем в случае

условие (14) является необходимым.

Доказательство.

Пусть е – произвольный фиксированный компакт положительной меры,

- соответственно невозрастающие перестановки f(x) и

. Пусть

Тогда

Воспользуемся представлением

Применим неравенство Гёльдера с показателями

Последовательно применяя замену

, неравенство Минковского и замену

, получим

Во внутреннем интеграле оценим

получим