Оценки спектральных радиусов (стр. 2 из 13)
Неравенство
очевидно, поскольку в обеих частях неравенства супремум берется от одной и той же величины 
,но при вычислении 
множество допустимых значений x шире.Чтобы убедиться в справедливости неравенства
, заметим, что для любого 
мы имеем 
,
а значит, и супремум выражения
, вычисленный по всем ,не превосходит β, т.е. справедливо неравенство 
, что и требовалось доказать.Чтобы проверить неравенство
, заметим, что для любого и такого, что 
, имеем 
.Если же x=0, то
. Поэтому 
, что и требовалось доказать.Определение. Общее значение выражений
(3)называется нормой оператора A и обозначается через
.Такое название объясняется тем, что, как показывает cледующая теорема, величина действительно обладает свойствами нормы: она неотрицательна, положительно однородна и для нее справедливо неравенство треугольника.Будем рассматривать банахово пространство
, полуупорядоченное конусом 
, и оператор 
произвольной природы, действующий в [29].Определение. Выпуклое множество
называется конусом, если вместе с каждой своей точкой 
оно содержит луч, проходящий через , и если из 
вытекает, что 
(лучом, проходящим через точку 
, называется совокупность точек 
).Определение. Конус
называется телесным, если он содержит внутренние элементы. Если любой элемент пространства может быть представлен в виде 
, то конус называется воспроизводящим. Конус называется нормальным, если из неравенства 
следует, что 
, где 
– константа нормальности, не зависящая ни от , ни от 
.Определение. Множество
функционалов сопряженного пространства 
, принимающих неотрицательные значения на элементах конуса , называется сопряженной полугруппой. Для того чтобы полугруппа была конусом, приходится налагать дополнительные условия на конус .Будем говорить, что
является квазивнутренним элементом, и обозначать 
, если для каждого ненулевого функционала 
выполняется неравенство 
. Положительный линейный оператор назовем неразложимым, если для любого 
из неравенства 
, следует, что 
.В соответствии с [44], условимся писать, что
, если 
.В случае конечномерных пространств с конусом, составленном из векторов с неотрицательными компонентами, линейные положительные операторы определяются матрицами с неотрицательными элементами.
Полугруппа (конус) К называется нормальной (нормальным), если существует такое постоянное число N, что для всех x, yÎE, удовлетворяющих соотношению
q£x£y,
имеет место неравенство
||x||£N||y||.
В этом случае говорят, что норма в Еполумонотонна.
Конусы неотрицательных функций в пространствах С, Zp нормальны. Нормальны также все конусы в конечномерных пространствах. Не каждый конус обладает свойствами нормальности. Например, конус неотрицательных функций в пространстве
с нормой 
не обладает свойством нормальности.
Пространство, в котором каждая ограниченная монотонная последовательность имеет предел, называется правильнополуупорядоченным. Конус, который порождает правильную полуупорядоченность будем назвать правильным.
Определение. Конус К назовем вполне правильным, если каждая монотонная ограниченная по норме последовательность сходится (по норме) к некоторому пределу.
Известно (см. [28], [30]), что каждый вполне правильный конус является правильным, каждый правильный конус является нормальным, конусы в конечномерных пространствах Rn являются вполне правильными. В конечномерном пространстве каждый воспроизводящий конус обладает свойством телесности.
Приведем еще один крайне важный класс конусов. Прежде отметим следующее определение.
Определение. Пусть x, y – какие-либо два элемента полуупорядоченного пространства Е. Точной верхней гранью элементов x, y назовем такой элемент u = sup{x, y}, который обладает свойствами:
10. u³x, u³y;
20. для всякого элемента w:
w³x, w³y
следует, что
u£w,
т.е. sup{x, y} является верхней гранью элементов х и у одновременно, причем это -наименьшая из всех верхних граней этих элементов.
Определение. Если в полуупорядоченном пространстве Е для каждой пары элементов х, у существует sup{x, y}, то конус К называется миниэдральным (в дословном переводе этот термин означает, что конус имеет минимально возможное число граней).
Примерами миниэдральных конусов являются конусы векторов с неотрицательными координатами в пространствах Rn, конусы неотрицательных функций в пространствах С[a,b],
, конусы неотрицательных последовательностей в пространствах lp (р³ 1), т – ограниченных числовых последовательностей и некоторые другие.