Оценки спектральных радиусов (стр. 6 из 13)
. (11)
Пусть хотя бы на одном фиксированном элементе 
конуса 
выполняется неравенство
,
тогда для спектральных радиусов 
и 
операторов 
и 
справедливо следующее неравенство:
.
Доказательство.
Перейдем в пространстве
к - норме [26], [29], которая, во-первых, определена на всем , так как конус телесен, и, во-вторых, эквивалентна норме в , т.к. конус нормален. Тем самым пространство 
будет полно по -норме. Прежде всего, установим, что для произвольного линейного положительного оператора 
справедливо равенство 
. (12)Действительно, из неравенства
,справедливого для любого
, в виду положительности оператора следует, что 
,откуда, учитывая монотонность
-нормы, получим 
,и, следовательно, по определению нормы оператора
. (13)С другой стороны, из свойств нормы следует, что
. (14)Из (14) и (13) следует равенство (12).
Далее, согласно условию (9), свойству (11) и положительности оператора
, имеем 
. (15)По индукции легко доказать, что для любого
имеет место неравенство 
,и в силу монотонности
-нормы 
.Поэтому, согласно (12),
. (16)Т.к. в силу эквивалентности
-нормы и нормы пространства можно написать, что 
, 
, (17)то из неравенства (16) и равенств (17) следует утверждение теоремы.
Замечание. Теорема 2 верна также и в том случае, когда операторы
и полукоммутируют (т.е. 
). В доказательстве выражение (15) перепишется в виде: 
.Рассмотрим теперь условия (9) и (10) для строгих неравенств. Т.е. условия, при которых из
следует оценка
. (18)Прежде, чем перейти к рассмотрению строгих оценок (18), приведем несколько важных теорем, представляющих интерес.
Теорема 3. Пусть и - линейные положительные операторы, действующие в пространстве , причем они коммутируют, т.е. 
. Пусть оператор неразложим, тогда операторы и имеют общий собственный вектор.
Доказательство.
Пусть
- собственный вектор оператора 
, отвечающий спектральному радиусу 
. Т.к. операторы и коммутируют, то для любого имеем: 
.Тогда
,следовательно
- собственный вектор оператора , 
. Т.к. - неразложим, то согласно теореме о единственности (с точностью до нормы) собственного вектора у неразложимого оператора [29]: 
,где
.Тем самым у оператора
есть собственный вектор 
. Т.е. получаем, что у операторов и есть общий собственный вектор .Теорема доказана.
Важным моментом в доказанной теореме является то, что телесность конуса не предполагается.
Теорема 4.Пусть дана некоторая коммутативная совокупность 
линейных положительных операторов, из которых хотя бы один 
является неразложимым. Тогда найдется положительный функционал 
, такой, что 
для всех 
, где 
для каждого 
. При этом 
.
Доказательство.
На основании предыдущей теоремы, можем утверждать, что все операторы из
имеют общий собственный вектор 
( 
), причем 
.