Оценки спектральных радиусов (стр. 8 из 13)
Пример. Рассмотрим матрицу
и вектор 
пространства 
, а также матрицу 
, коммутирующую с матрицей : 
; 
; 
, 
.
Имеем 
, 
, т.е. 
. Таким образом, выполнены все условия теоремы 6, следовательно
.В то время как точное значение спектрального радиуса:
.Заметим, что использование коммутирующего оператора
способствовало уточнению оценки 
. Действительно, если в примере воспользоваться неравенством (7), то 
, и тогда, учитывая (8), получим 
, а эта оценка намного хуже оценки .§ 2. Оценки спектрального радиуса интегрального оператора
Существует большое количество результатов по оценке спектрального радиуса матричного оператора. Обзор результатов приведен, например, в работе [26]. Стеценко В.Я. в [29] развил некоторые из оценок на интегральные операторы. Следующая теорема является развитием второго метода Островского для интегральных операторов [26].
Теорема 1 .Пусть 
- матричное ядро. 
. Функции 
, заданны в квадрате 
, за исключением прямой t=s, 
, 
. Пусть r= 
-спектральный радиус матричного интегрального оператора 
.Тогда
, где p>0, q>0, 1/p + 1/q =1,
где
.(1)
Доказательство.
Рассмотрим систему
. (2)Так как
- спектральный радиус оператора А, то система линейных однородных уравнений относительно неизвестных 
имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы 
(3)Представим
(4)Вычтем почленно из (2) тождество (4):
.Так как
, то 
, таким образом: 
Применяя неравенство Гельдера для интегралов, и учитывая, что
,получим:
= 
=
согласно (4)
=
учитывая (1) и (3)
.Возведем обе части в степень q.
, тогда 
Проинтегрируем по t
,учитывая (3) получим:
или Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему, которая является неравенством Фарнелла для интегральных операторов.
Теорема2. Пусть -непрерывное матричное ядро 
. Тогда функции 
, заданные для 
, порождают действующий и вполне непрерывный оператор в пространстве 
.
Пусть
-спектральный радиус матричного интегрального оператора 
в пространстве , 
, 
,докажем, что
.Для доказательства теоремы рассмотрим систему
. (5)Эта система имеет ненулевое решение. Выберем решение так, чтобы
(6)Умножим обе части уравнения (5) на
. Получим 
. (7)С учетом (5)
,тогда (7) запишется следующим образом:
(8)Умножим обе части выражения (8) на
, получим 
. (9)Проинтегрируем обе части выражения (9) по
.Тогда
Учитывая (6),получим
Из неравенства Гельдера
для 
получим
.Следовательно,
.Теорема доказана.
Получена еще одна оценка сверху для спектрального радиуса интегрального оператора.
§3. Новые оценки спектрального радиуса линейного
положительного оператора
В данном параграфе предлагается дальнейшее развитие оценок спектрального радиуса линейного положительного оператора, заключающееся в том, что сравнивается значение элемента
со значением комбинации элементов 
, где - специальным образом подобранный оператор, причем для получения оценок достаточно знать оценку 
, а не его точное значение. Результаты, полученные в этом параграфе, являются продолжением работ [11], [18], [26], [29].