Оценки спектральных радиусов (стр. 9 из 13)
Справедлива следующая теорема.
Теорема 1.Пусть 
воспроизводящий и нормальный конус, 
и 
- линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. 
. Пусть 
- неразложим. Если для некоторого 
и 
выполняется неравенство
, (1)
то
.
Если для 
верна оценка 
, тогда
. (2)Доказательство.
Существует такой функционал
, что 
и 
,где
- собственное значение оператора 
, соответствующее функционалу 
. Применим функционал к (1): 
, 
, 
.Т.к. оператор
- неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому 
.Заменив
на , мы только усилим неравенство (т.к. 
): 
.Первое утверждение теоремы доказано. Из последнего неравенства очевидным образом следует неравенство (2). Теорема доказана.
Пример 1. Рассмотрим матрицу
и вектор 
пространства 
, а также матрицу , коммутирующую с матрицей : 
; 
; 
; 
,поэтому
, и 
. Все условия теоремы 1 выполнены, следовательно 
, т.к. 
, то имеем 
. В то время как 
.При
получим известную теорему Стеценко В.Я. [20]:Пусть оператор неразложим и 
, K - телесный и нормальный конус, и для некоторого элемента выполняется неравенство 
, тогда справедливо неравенство 
.
Эта теорема является частным случаем теоремы 1.
Кроме того, заметим, что использование коммутирующего с оператором
оператора способствовало уточнению оценки 
. Действительно, если в примере 1 предположить 
, то 
, и тогда 
, а эта оценка намного хуже оценки .Аналогично теореме 1 доказывается следующая теорема.
Теорема 2.Пусть 
- воспроизводящий и нормальный конус, и - линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим, и для некоторого выполняется неравенство
,
где 
, 
. Тогда
.
Если для верна оценка , тогда
.Теорема 3.Пусть воспроизводящий и нормальный конус, и линейные положительные операторы, причем они коммутируют, т.е. . Пусть - неразложим. Пусть для некоторого выполняется неравенство
, (3)
где 
, . Тогда верна оценка:
,
где 
- наименьшее позитивное собственное значение оператора .
Доказательство.
Применим к (3) функционал
из теоремы 1: 
.Т.к. оператор
- неразложим, то данный функционал принимает положительные значения на ненулевых элементах конуса [29]. Поэтому