Тяготение (стр. 2 из 3)

Рисунок 1.2 Представления о движении планет в Средневековье.

а – построения Птолемея. Земля находится в точке Е, а планета – в точке Р, которая двигается по кругу с центром L. В свою очередь центр L двигается вокруг Е по иному кругу, центр которого не совпадает с Е.

б – построения Коперника также основаны на кругах, но в них зафиксирована точка S, которая обозначает Солнце. Планета Р двигается по кругу, центр которого L двигается по другому кругу, центр которого не совпадает с S.

Вызов геоцентрической системе бросил Николай Коперник (1473-1543), предложивший для описания движений в Солнечной системе совершенно иную схему. В этой схеме, называемой гелиоцентрической системой мира, предполагается, что Солнце неподвижно в пространстве, а планеты, в том числе и Земля, обращаются вокруг него. Как и Птолемей, для описания движений планет Коперник также привлек (может быть, под влиянием Аристотеля?) сложные построения с окружностями (рис. 1.2).

Построения Коперника проще, но вовсе не приводят к большей точности по сравнению с геоцентрической системой. Главная их ценность в том, что в них впервые закреплено центральное положение Солнца в планетной системе. Трудно пришлось бы тому, кто попытался бы строить в геоцентрической системе динамическую теорию для объяснения движения планет, из-за той роли, которая отводилась Земле. Ключ к разгадке движения планет связан, как мы увидим ниже, не с Землей, а с Солнцем.

При жизни Коперника его гипотеза встретила сильное сопротивление. Лишь на смертном одре увидел Коперник опубликованной свою книгу “Об обращении небесных сфер”. Ее влияние на следующие поколения сказалось не сразу, но оно было огромным.

В гл. 1 упоминалось, какую могучую поддержку теории Коперника оказал Галилей. Однако только Иоганну Кеплеру (1571-1630) удалось, исходя из тщательных наблюдений, развить теорию Коперника. Для описания планетных орбит Коперник пытался использовать окружности, но Кеплер обнаружил, что лучше всего эти орбиты описываются эллипсами. Кеплер пришел к следующим трем законам движения (рис. 1.3).

Рисунок 1.3. Иллюстрация законов Кеплера

1. Орбита планеты есть эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

2. Радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, описывает равные площади в равные промежутки времени.

3. Квадрат времени, необходимого для одного полного оборота, пропорционален кубу большой оси орбиты.

Законы Кеплера послужили эмпирической основой для динамической теории Ньютона. Законы Кеплера описали, как движутся планеты; законы движения и гравитации Ньютона позволили понять, почему движение планет подчиняется законам Кеплера.

НЬЮТОНОВСКАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ И ДВИЖЕНИЕ В СОЛНЕЧНОЙ СИСТЕМЕ

Чтобы начертить окружность радиуса r с центром в точке S, нужно закрепить один конец нити в S, а к другому привязать карандаш Р. Длина нити - это радиус r. Держа нить натянутой, ведем карандашом по бумаге, и он вычерчивает окружность. А как вычертить эллипс с фокусами в точках S и S' и большой полуосью а? Тут построение немного сложнее (рис. 1.4). Возьмем кусок нити длиной 2а и закрепим ее концы в Sи S'. Будем вести карандашом так, чтобы его конец Р скользил вдоль нити, а участки PS и PS' были все время натянуты. При построении окружности конец карандаша все время остается на расстоянии PS = а; в случае эллипса PS + PS' = 2а. Ясно, что при построении эллипса расстояние SS' не может превышать 2a. Когда S и S' совпадают, эллипс превращается в окружность.

Рисунок 1.4. Простой способ построения эллипса.

Ньютон применил свою динамику для описания движения планет под действием тяготения Солнца. Его уравнения движения (см. гл. 1) связывают ускорение планеты с приложенной силой, в данном случае - с силой тяготения. Можно ли, зная ускорение планеты, рассчитать ее траекторию в пространстве? Для решения этой задачи Ньютон создал новый раздел математики, который он назвал флюксиями и который теперь называется математическим анализом. При помощи методов анализа ему удалось доказать, что планеты движутся по эллиптическим траекториям и подчиняются трем законам Кеплера. Но научное сообщество всегда склонно к консерватизму и с подозрением относится к новым методам. Поэтому, чтобы сделать теорию более доступной. Ньютон придал своим простым аналитическим доказательствам более привычную, хотя и более громоздкую, геометрическую форму. В книге Ньютона “Математические начала натуральной философии”, опубликованной в 1687 г., содержится его знаменитая работа о движении и гравитации.

Можно понять, как из законов Кеплера вытекает закон обратной пропорциональности квадрату расстояния для гравитации, и не прибегая к тонким математическим рассуждениям. Рассмотрим упрощенную задачу движения по окружности, которая, как отмечалось выше, является частным случаем эллипса.

На рис. 1.5 изображена планета Р массы т, которая движется по окружности с центром S, где находится Солнце. Прежде всего отметим, что, поскольку радиус SP описывает равные площади за равные промежутки времени (второй закон Кеплера), точка Р должна двигаться по окружности с постоянной по величине скоростью.

Рисунок 1.5. Поскольку планета Р движется по круговой орбите, а Солнце находится в центре, то сила взаимодействия между Солнцем и планетой и центростремительно ускорение направлены по радиусу.

Пусть радиус круга равен r, тогда длина окружности равна 2πr. Если период обращения планеты равен Т, то постоянная величина скорости v выражается так:

.

В каком направлении должна действовать сила на планету Р, чтобы она двигалась по окружности? Утверждать, что сила действует в направлении движения, значит, впадать в ту же ошибку, что Аристотель и его последователи. Сила связана не со скоростью, а с ускорением. А ускорение точки Р направлено к центру S и равно по величине v²/r (см. гл. 1). Поэтому сила F, действующая на планету, направлена к центру и вычисляется по второму закону Ньютона: сила равна произведению массы на ускорение, или

Поскольку v = 2πr/T, имеем

.

Воспользуемся теперь третьим законом Кеплера, который гласит, что Т² пропорционально r³, т.е.

T² = kr³,

где k - некоторое постоянное число. Подставляя T² в выражение для силы F, получаем

Отсюда следует, что сила, действующая на планету Р, уменьшается обратно пропорционально квадрату ее расстояния от солнца.

Рисунок 1.6. Если б гравитационное взаимодействие исчезло, то Луна полетела бы по прямой (касательной к кругу).

Закон тяготения описывает не только движение планет вокруг Солнца, но и движение Луны вокруг Земли, а также движение других спутников вокруг своих планет. Поначалу может показаться удивительным, что один и тот же закон управляет и падением яблока, и движением Луны. Внимательно изучив рис. 1.6, нетрудно понять, что Луна (как и яблоко) тоже падает на Землю, но только непрерывно. Пусть Луна М движется по окружности с центром в Земле Е. Вообразим, что сила притяжения Земли вдруг по волшебству исчезает. Как показано на рис. 1.6, Луна будет тогда двигаться вдоль штриховой прямой с постоянной скоростью - ведь никакая сила на нее не действует (первый закон Ньютона)! Сравним этот путь с фактической круговой траекторией Луны вокруг Земли. Предоставленная себе самой. Луна, естественно, стремилась бы улететь вдоль штриховой прямой, но Земля постоянно “тащит” Луну к себе. Поэтому можно рассматривать движение Луны как непрерывное падение на Землю. Правда, обладая поперечной скоростью, она никогда не достигает Земли, а смещается перпендикулярно прямой Земля-Луна.

КТО ПЕРВЫМ ЗАДУМАЛСЯ О ГРАВИТАЦИИ?

Ньютон не был первым, кто задумался о гравитации. Еще в XV в. некоторым астрономам приходила в голову мысль о существовании притяжения между небесными телами и Землей. Утверждалось, что Земля притягивается во всех направлениях “магнетическими” силами, но, поскольку эти силы во всех направлениях одинаковы. Земля остается в покое.

У. Гильберт в 1600 г., И. Буйяр в книге “Astronomia Philolaica”, опубликованной в 1645 г., и А. Борелли в 1666 г., по-видимому, были в общем недалеки от ньютоновского закона всемирного тяготения, как и Кеплер, который даже однажды рассматривал закон обратной пропорциональности квадрату расстояния, но отверг его.

Легенда о яблоке приписывает Ньютону открытие гравитации в 1666 г., хотя первая его публикация о ней, трактат “Propositions de Motu”, был прочитан в Королевском обществе в феврале 1685 г., а сами “Начала” были изданы в 1687 г. Между тем в 1674 г. Роберт Гук опубликовал свою работу, в которой движение Земли вокруг Солнца описывалось при помощи закона притяжения, которое убывало с расстоянием. Рассказывают, будто Гук сообщил о своих идеях Ньютону, который независимо пришел к похожим выводам.