Рассеяние волн в задаче о маскировке объектов методом волнового обтекания (стр. 2 из 3)
,известны для такого приближения.
Граничные условия задаются равенствами:
, (1.2.5) 
, (1.2.6)из которых можно путём преобразований получить следующие выражения
, (1.2.7) 
, (1.2.8)которые задают зависимость неизвестных коэффициентов
из выражения для внутреннего поля (1.2.4) от направлений распространения 
, полей 
, 
, координаты 
и 
– радиуса цилиндра. Таким образом, поле 
определено, т. к. коэффициенты могут быть легко получены из (1.2.7), (1.2.8).Поле, образовавшееся после рассеяния падающего поля на цилиндре высоты L, в точках находящихся на достаточном для нашего приближения удалении определим путём интегрирования по конечной поверхности цилиндра, исключая граничные точки, используя формулу
. (1.2.9)После подстановки (1.2.4) в (1.2.9) и выполнения интегрирования по dz в интервале (
и по dφ в интервале (0; 2π) получим следующее выражение для поля рассеянных волн: 
{
[ 
] 
[ 
]}. (1.2.10)Итак, нами были найдены поля
и 
. Однако есть несколько ограничений для полученных решений. Во-первых, следует иметь в виду, что такое решение непригодно вблизи точек рассеяния. Во-вторых, амплитудные коэффициенты, которые использовались в уравнениях (2.3), (2.4), были взяты готовыми, как известные для плоских волн. В общем случае их нужно рассчитывать отдельно для каждой конкретной задачи, используя преобразование Фурье, как это делается в работе [9].1.3 Быстрое преобразование Фурье
Преобразование Фурье используется при решении задачи о рассеянии с целью нахождения амплитудных коэффициентов необходимых для описания волны. Характер последних, как уже упоминалось, зависит от того в каком приближении мы рассматриваем поставленную задачу. Суть применения преобразования Фурье заключается в разбиении произвольной волны на элементарные плоские волны. Таким образом, получаем амплитудные коэффициенты, стоящие как множители перед рядом, в виде которого представляется волна. Затем можно подставить граничные условия в полученное выражение, что позволяет выразить неизвестные
, 
, 
, 
, как, например, в (1.2.3), (1.2.4). Затем, проведя обратное преобразование Фурье, получим представление искомой волны, удовлетворяющее задаче.Быстрое преобразование Фурье (БПФ) – это реализация обычного (дискретного) преобразования Фурье (ДПФ), но с намного меньшим количеством операций n=Nlog2N, где N – размер строки данных, в отличие от n=N2 в ДПФ. В БПФ используются исключительно N, являющиеся степенями двойки. Если N не является степенью двойки, то его дополняют нолями до ближайшей из степеней.
Для осуществления БПФ можно использовать лемму Даниельсона-Ланкзоса, которая разбивает ряд ДПФ
, (1.3.1)где
– исходная функция, на две суммы – по чётным и нечётным индексам j: 
. (1.3.2) 
= 
, (1.3.3)где
. Это и есть лемма Даниельсона-Ланкзоса [2]. Она подходит для осуществления как прямого БПФ, так и обратного.В массиве данных
сперва следует произвести нумерацию элементов в двоичном виде, а затем пересортировать массив, заменяя каждый элемент элементом с обратным двоичным индексом. Полученная в результате таких перестановок последовательность после преобразования по формуле (1.3.3) задаёт искомую функцию.Существуют также и другие алгоритмы БПФ, как, например в [10], но они в отличие от леммы Даниельсона-Ланкзоса не выполняют как прямое, так и обратное преобразование Фурье.
2. Скрытие материальных объектов методом волнового обтекания
2.1 Основополагающие идеи
Исторически первенство в идее и моделировании скрытия (английский термин cloaking) методом волнового обтекания принадлежит Дж. Пендри и его коллегам [3]. Они предложили принципиально новый метод маскировки, суть которого заключается в преломлении волн в маскирующей оболочке так, что они огибают скрытый в оболочке объект и на выходе из неё остаются такими же, какими в неё попадали. В результате поле выглядит так, как если бы на пути его распространения оно не встречало никаких препятствий.
Траектории лучей в маскирующей оболочке
Чтобы наблюдатель не заметил никаких неоднородностей необходимо выполнение и следующего условия – оптическая длинна пути каждого луча в оболочке должна быть такой же, как если бы он распространялся прямолинейно в свободном пространстве. Для достижения такого эффекта для оболочки рассчитывают определённую конфигурацию параметров – диэлектрической и магнитной проницаемостей
и 
.Для расчета параметров маскирующего покрытия Пендри и его коллеги предложили использовать следующий приём: внутри некоторой области пространства (вакуума) создать включённую подобласть искривлённой метрики (в которой непосредственно и предполагается спрятать объект) при помощи преобразования координат.
Например, такого как в их работе [3].
, 
, 
. (2.1.1)Преобразование (2.1.1) переводит шар радиуса
в шаровой слой 
.Исходя из того, что уравнения Максвелла инвариантны преобразованиям координат [4], поле падающих волн ведёт себя в искривлённом пространстве таким же образом как и в исходном. Тензоры
и диэлектрической и магнитной проницаемостей также могут быть найдены. В [3] получены следующие диагональные элементы тензоров и : 
, (2.1.2) 
, (2.1.3)Распределение параметров (2.1.2), (2.1.3) будут искривлять прямой луч также как и преобразования (2.1.1) искривляют прямую линию, пересекающую шар с радиусом r <
. Параметры 
и также могут быть выражены через метрический тензор искривлённого пространства gik.