Течение Пуазейля (стр. 2 из 2)

Размер канала по направлению нормали к плоскости чертежа (вдоль оси z) считаем достаточно большим, чтобы можно было не учитывать влияние стенок, параллельных плоскости хОу. Кроме того, допускаем, что движение вызвано не только перемещением одной из стенок канала, но и перепадом (или градиентом) давления по направлению оси х. Влиянием массовых сил пренебрегаем, т.к. число Фруда мало из-за малости h, а линии тока считаем прямыми, параллельными оси х.

Тогда исходные условия задачи выражаем в виде:

Из уравнения неразрывности сразу заключим, что

а поскольку это будет выполнено во всех точках, то и Ввиду отсутствия движения вдоль оси z все производные по этой координате также обратятся в нуль, и уравнение Навье-Стокса в проекции на ось z можно не писать.

Тогда система уравнений движения сведется к двум уравнениям:

Первое получается из проекции уравнения Навье-Стокса на координатную ось x, а второе из этих уравнений свидетельствует, что давление зависит только от х, т.е. p(y)=p(z)=0, и так как

то можно перейти от частных производных к полным:

Обозначим

, проинтегрируем это уравнение дважды, получим:

Так как в соответствии с рисунком и принятыми допущениями давление зависит только от координаты x. Для отыскания постоянных интегрирования

и используем граничные условия:

Таким образом закон распределения скоростей в плоском канале запишется в виде:

(10)

5. Течение Куэтта

Течение Куэтта – безградиентное течение

В этом случае единственной причиной движения служит перемещение пластины. Течение характеризуется линейным законом распределения скоростей (рис. б).

Касательное (вязкое) напряжение

будет постоянным по толщине слоя, а величина удельного расхода, т.е. расхода через живое течение S=h·1, увлекаемого движущейся пластиной, равна:

6. Течение Пуазейля

Это случай напорного течения в плоском канале с параболическим распределением скоростей (рис. в). В соответствии с уравнением (10) получим:

(11)

Максимальная скорость на оси (при y=h/2) ввиду параболического распределения скоростей:

(12)

Разделив (11) на (12), получим закон распределения скорости

Нетрудно вычислить и другие характеристики течения. Касательное напряжение

На стенках, т.е при y=0 и при y=h, принимает максимальные значения

А на оси при y=h/2 обращается в нуль. Как видно из этих формул, имеет место линейный закон распределения касательных напряжений по толщине слоя

Удельный расход жидкости определится формулой

Средняя скорость

(13)

Средняя скорость будет в полтора раза меньше максимальной.

Проинтегрировав (13) по х, в предположении, что при х=0 давление р=р₀^*, получаем искомую разность давления:

Нетрудно также вычислить интенсивность вихревой составляющей движения. Поскольку в данном случае V_y=V_z=0 и V_x=V, то

Учитывая, что dp/dx<0, мы получи:

· при y < h/2, щ_z < 0, т.е. частицы вращаются по часовой стрелке;

· при y > h/2, щ_z > 0, т.е. частицы вращаются против часовой стрелки (рис. в).

Таким образом, рассматриваемый поток является завихренным во всех точках, упорядоченные вихревые линии представляют собой прямые, нормальные плоскости течения.

7. Общий случай течения между параллельными стенками

Для этого случая характерно

Распределение скоростей определяется уравнением (10), где градиент давления dp/dx может быть как отрицательным, так и положительным. В первом случае давление падает в направлении скорости пластины V₀, во втором – возрастает. Наличие положительного градиента давления может вызывать возвратные течения. Уравнение (10) удобно представить в безразмерной форме

которая графически изображается семейством кривых с одним параметром

Безразмерные профили скоростей для общего случая течения между параллельными стенками.

8. Пример задачи

Рассмотрим течение Пуазейля применительно к МГД-генератору.

Магнитогидродинамический генератор,МГД-генератор — энергетическая установка, в которой энергия рабочего тела (жидкой или газообразной электропроводящей среды), движущегося в магнитном поле, преобразуется непосредственно в электрическую энергию. Скорость движения вязкой среды может быть как дозвуковой, так и сверхзвуковой, выберем скорость равную V_max =300 м/c. Пусть длина линейного канала будет равна 10 метров^[4]. Расстояние между обкладками, в которых протекает плазма, равно 1 метр^[4]. Максимальное значение вязкости плазмы примем 3·10^-4 Па·Чс=8,3·10^-8Па·с ^[5].

Подставляя данные в формулу для разности давлений, учитывая, что средняя скорость в полтора раза меньше максимальной, получим:

Такова потеря давления при прохождении рабочего тела через линейный канал МГД-генератора.

Список используемой литературы

1. Бекнев В.С., Панков О.М., Янсон Р.А. – М.: Машиностроение, 1973г. – 389 с.

2. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1978г. – 458 с.

3. Емцев Б.Т. Техническая гидромеханика. – М.: Машиностроение, 1987г. – 438 с.

4. http://ru-patent.info/21/20-24/2123228.html

5. http://ligis.ru/effects/science/83/index.htm