Елементи теорії відносності та основне рівняння ідеального газу (стр. 3 из 4)
(7)Величина Dt являє собою час, за який молекула проходить відстань 2l. Отже:
(8)Підставляючи це значення
в формулу (7), одержимо: 
(9)Ми знайшли середню силу удару однієї молекули. Але різні молекули рухаються з різними швидкостями
Тоді сумарна сила удару молекул об стінку буде рівна: 
(10)де
– число молекул, що рухаються між двома протилежними стінками.В першій частині рівняння (10) винесемо
за дужки, помножимо і поділимо його на . Одержимо: 
(11)Величина
являє собою середнє значення квадратів швидкостей молекул, а величина, рівна 
називається середньою квадратичною швидкістю. Тоді замість (11) маємо: 
(12)Як вказано вище, число молекул, що рухаються між двома протилежними стінками,
. Отже, одержуємо: 
(13)Підставивши це значення fв формулу (5) і враховуючи, що площа грані
знаходимо: 
. (14)Але
– об’єм кубу. Отже 
– являє собою число молекул в одиниці об’єму. Тому маємо: 
. (15)З останнього виразу випливає, що тиск, що виконує газ на стінки посудини визначається числом молекул в одиниці об’єму
, масою молекули m і середньою квадратичною швидкістю.Формулу (10) можна записати в іншому вигляді. Помноживши і поділивши праву частину на два, одержимо:
, (16)але
– представляє собою середню кінетичну енергію руху молекули. Тому маємо: 
. (17)тобто тиск газу пропорційний середній кінетичній енергії молекул одиниці об’єму.
Співвідношення (15) і еквіваленти (17) називається основним рівнянням кінетичної теорії газів згідно (17) тиск газу дорівнює 2/3 кінетичної енергії поступального руху молекул, вміщених в одиниці об’єму.
Таким чином, для обрахунків тиску газу необхідно знати середню кінетичну енергію молекул або їхню середню квадратичну швидкість. Найчастіше відома температура газу. Тому знайдемо формулу для визначення цих величин через температуру газу. Для цього помножимо ліву і праву частини рівняння (17) на об’єм одного моля Vo, одержимо:
(10)Але по
– кількість молекул в 1 молі. Отже 
– число Авогадро.Тому формула (18) має вигляд:
(19)Порівнюючи вираз (19) з рівнянням стану ідеального газу
, знаходимо: 
(20)Звідси
(21)Оскільки RіN – величини сталі, то і величина kрівна:
(22)теж буде сталою. Вона носить назву сталої Больцмана. Її значення дорівнює:
Після чого формула (21) записується так:
(23)Стала Больцмана k є однією з найважливіших фундаментальних фізичних сталих і має зміст універсальної газової сталої, віднесеної до однієї молекули газу.
З рівняння (23) випливає молекулярно-кінетичний зміст температури. Температура газу визначається середньою кінетичною енергією поступального руху молекул.
Вираз (23) можна записати так:
(24)Звідси можна визначити середню квадратичну швидкість молекул:
(25) 
(26)Підставивши в формулу (17) значення середньої кінетичної енергії за формулою (23):
(27)Рівняння (27) дозволяє обчислити кількість молекул, наприклад, в електровакуумних приладах.
Розподіл молекул газів по швидкостях при тепловій рівновазі (розподіл Максвелла)
Як же розподіляються молекули газів в залежності від їхніх швидкостей тобто, скільки молекул рухається швидко і скільки повільно? Цю задачу вперше розв’язав Максвелл. Він знайшов рівняння, за допомогою якого можна визначити, скільки молекул має швидкість, близьку до даної швидкості
. Іншими словами, рівняння Максвелла дозволяє визначити кількість молекул, що мають швидкість в інтервалі (n,n + Dn).Визначимо спочатку, від чого повинна залежати кількість частинок Dn, швидкості яких лежать в інтервалі (n,n + Dn). Наприклад в інтервалі 100, 101 м/с або 367, 370 м/с і т.д. Очевидно, найбільша кількість частинок має швидкості, близькі до середньої швидкості, а кількість частинок з дуже малими швидкостями, як і кількість з дуже великими швидкостями, мала. Отже, кількість частинокDn, що приходиться на однакові інтервали швидкостей Dn залежить від розглядуваної швидкості n. Іншими словами, так звана функція розподілу Максвелла повинна бути функцією швидкостей f(n), тобто:
Фізично також ясно, що число
буде пропорційне ширині інтервала швидкостей Dnі кількості молекул в одиниці об’єму n. Тому можемо записати таке співвідношення: 
(28)Або, переходячи до нескінченно малих величин
і 
, одержуємо: 
(29)Звідки знаходимо:
(30)Функцію f(n) називають функцією розподілу. Її фізичний зміст випливає з (30). Дійсно при Dn = 1 м/cмаємо:
, тобто, f(n)рівна долі частинок, швидкості яких лежать в одиничному інтервалі швидкостей поблизу даної швидкостіn.На основі теорії ймовірностей Максвелл знайшов вигляд цієї функції:
.На рис. 2 приведений графік функції f(n). З графіка видно, що f(n)функція має максимум при певному значенні швидкості
. Це значить, що найбільшу кількість молекул в газі мають швидкості, близькі до 
. Тому швидкість називають найбільш ймовірною. 
Рис. 2
Найбільш ймовірна швидкість рівна:
(31)Враховуючи значення найбільш ймовірної швидкості формулу (31) можна записати в такому вигляді: