Электромагнитные волны в волноводном тракте (стр. 6 из 11)
Например, если между проводами двухпроводной линии поместить источник света, то ясно, что свет будет распространяться не по проводам, а излучаться во всех направлениях. Условие l>>λ означает, что вдоль линии укладывается большое число длин волн, и она не является системой с сосредоточенными параметрами, поэтому двухпроводная линия представляет собой систему с распределенными параметрами. Для ее описания вводят распределенную емкость, индуктивность и сопротивление на единицу длины, размерность которых Ф/м, Гн/м, Ом/м. Основное требование, предъявляемое к длинным линиям,— передача энергии электромагнитной волны с минимальным затуханием. Поэтому в первую очередь необходимо добиваться минимальных потерь, которые зависят от длины линии и частоты колебаний волноводного процесса. При длинах волн короче 10 см потери в двухпроводной линии резко возрастают, и они становятся неэффективными для передачи энергии. Поэтому их заменяют волноводами — полыми металлическими трубами, которые имеют меньшие потери, чем двухпроводная линия.
Процессы, происходящие в длинных линиях, принципиально отчаются от процессов в цепях с сосредоточенными параметрами. Эта объясняется тем, что индуктивности, емкости и активные сопротивления длинных линий распределены по всей длине линии, т. е. длинные линии являются цепями с распределенными параметрами. Процесс распространения электромагнитной энергии вдоль длинной линии является волновым процессом. Этот вывод следует из применения уравнений Максвелла к длинным линиям. Другой метод изучения процессов в длинных линиях основан на эквивалентной электрической схеме двухпроводной длинной линии, согласно которой линия разбивается на бесконечно большое число элементарных участков с бесконечно малыми сосредоточенными параметрами.
Рассмотрим бесконечно малый отрезок такой линии dX . Если в начале элементарного участка приложено напряжение U, то при протекании тока в указанном направлении приращение напряжения на участке равно
(2.11)так как приращение возможно только за счет ЭДС самоиндукции. Аналогично, если ток в начале участка равен I,то в конце его он получит приращение
(2.12)так как часть тока ответвляется через емкость dC=Cdx. В уравнениях (2.11), (2.12) L и С — индуктивность и емкость на единицу длины. Разделив на dx, получим
(2.13)Это телеграфные уравнения идеальной линии. Продифференцировав первое из уравнений по х, а второе по t, получим
(2.14)Волновые уравнения для напряжения получим после подстановки (2.14) в (2.13):
(2.15)Уравнения можно записать так:
(2.16)где
— скорость распространения волны 
(2.17)Решением волнового уравнения является любая функция вида
Полное решение волновых уравнений имеет вида
(2.19) 
(2.20)Таким образом, ток и напряжение в линии можно представить в виде суммы прямой и обратной волн, распространяющихся вдоль линии со скоростью
.Если к началу бесконечной линии приложить напряжение U(t), то, применив к (2.19) и (2.20) граничные условия х = 0 и U2=0, получим U(t)=U1(t), а решение будет иметь вид
(2.21) 
(2.22)Подставив его в уравнение (2.15), получим
, (2.23)откуда
(2.24)Далее
Функции U и I связаны следующими соотношениями:
(2.25)где Z0 волновое сопротивление линии. Из этих же уравнений
следует, что
т. е. 
.Это определение волнового сопротивления Zo для отраженной волны, и поэтому из (2.25) получим 
(2.26)Рассмотрим линию, нагруженную на активное сопротивление Rн. Так как напряжение на нагрузке равно сумме напряжений прямой и обратной волн, то граничные условия на ее конце будут следующими:
Введем понятие коэффициента отражения, как отношения амплитуды обратной волны к амплитуде падающей:
(2.27)Если
,то 
Если линия разомкнута на конце (
), то коэффициент отражения 
(2.28)т. е. волна напряжения отражается полностью с тем же знаком. Если линия замкнута на конце (Zн = 0), коэффициент отражения Котр= -1.
От закороченного конца линии волна напряжения полностью отражается с противоположным знаком. В результате напряжение на конце линии равно нулю, а ток удваивается.
Обычно измеряют максимум и минимум напряжения и определяют коэффициент бегущей волны
(2.29)Полагая Zн=R=ρ (согласованная нагрузка), получаем
U(x) = Uн |cosαx+ i sinαx)=Uнexp(iαx),
I (х)=Iн [cos αx + i sin αx] = Iн exp(iαx),
Z(х)=Zн = ρ
При работе на согласованную нагрузку в линии существуют только падающие (бегущие) волны тока и напряжения. Так как затуханием ρ мы пренебрегли, то модули амплитуд U(х) и I (х) вдоль линии не изменяются и равны соответственно модулям Uн и Iн
Переходя к мгновенным значениям, получаем
u(t, x) = Uн cos(ωt+αx),
i(t, х) = Iн cos(ωt+αх),
В начале линии при х = 1 будем иметь u(t,l)= Uн cos(ωt+αl), i(t,l)= Iн cos(ωt+αl), а в конце линииu (t, 0)=Uн cosωt, i(t,0) = Iн cosωt. Таким образом, фаза бегущей волны в конце линии отстает на угол φн=αl=2πl/λ=ωi/c от фазы волны в начале линии (для воздушной линии, когда v=c), где t1-время пробега волной отрезка l.
Полагая Zн = ixн (чисто активная нагрузка), получаем
U(х) = Uн [ cos αх+ρ/xн sinαх] (2.30)
I(х) = Iн [ cos αх- xн /ρ sinαх]
Переходя к модулям амплитуд, будем иметь
(2.31)Из этих выражений видно, что при чисто реактивной нагрузке в линии устанавливаются так называемые стоячие волны напряжения и тока. В точках, отстоящих от конца на расстояниях которых αx-φ1 = 0,π,2π ...., |соs(αх-φ1)| обращается в единицу, |sin(αx -φ1)| - в нуль, амплитуда напряжения , достигает своего максимума, а амплитуда тока равна нулю. Эти точки соответствуют пучностям напряжения и узлам тока. В точках где αx-φ1=π/2,3π/2,5π/2... и так далее, наоборот, устанавливаются узлы напряжения и пучности тока.
Заметим, что входное сопротивление линии при стоячих волнах имеет характер чисто реактивного сопротивления.
(2.32)Из этого следует, что в любом сечении линии напряжение и ток сдвинуты по фазе на угол 90 градусов. Из (2.32) видно, что в пучностях соответственно напряжения и тока амплитуды равны
(2.33) 
(2.34)Если умножить обе части последнего выражения на ρ, то получим
(2.35)При стоячих волнах максимальные амплитуды напряжения и тока связаны простым соотношением
Uмакс=Iмаксρ (2.36)
Интересно также установить связь между амплитудой в пучности и амплитудой падающей волны. Можно написать следующее выражение для напряжения на конце линии:
Uн = Uпад + Uотр = Uпад(1 + Г) (2.37)
С учетом Г находим окончательно Uмакс= 2Uпад.Аналогично можно показать, что Ιмакс= = 2Ιпад . Итак, при чисто реактивной нагрузке амплитуды в пучностях равны удвоенному значению амплитуды падающей волны. Физический смысл этого результата становится очевидным, если учесть, что образование стоячей волны является результатом интерференции падающей и отраженной волн.