Уравнения Больцмана, Лиувилля, Боголюбова (стр. 2 из 3)
Эта система в зарубежной литературе называется обычно ББКГИ-системой (Борн, Боголюбов, Кирквуд, Грин, Ивон). Мы будем в дальнейшем для краткости, а также потому, что Боголюбову принадлежит наиболее детальный ее анализ, называть ее системой уравнений Боголюбова.
в формуле (7) есть оператор Лиувилля для подсистемы из п частиц. Система уравнений Боголюбова является «зацепляющейся», так как уравнения для функции Fn содержат в правой части функцию Fn+1. Физически это отражает факт незамкнутости любой группы из n молекул (n<N), взаимодействующих с остальными N — n молекулами. Оператор Лиувилля, как видно из (7), однозначно определяет временную эволюцию функции Fn(х1, ..., хп, t) для замкнутой системы частиц, в то время как правая часть (7) описывает ее незамкнутость.Заметим, что последнее уравнение системы (7) для функции Fn является замкнутым и тождественным уравнению Лиувилля (2). С математической точки зрения интегрирование системы уравнений (7) следовало бы начинать с интегрирования этого уравнения. При этом, естественно, не нужно было бы интегрировать остальные N — 1 уравнения системы, так как все n-частичные функции распределения могут быть найдены по формулам (4), после того как найдена функция FN(x1, ..., xN, t), и система вообще стала бы не нужной. Однако, как мы уже говорили, интегрирование уравнения Лиувилля представляет собой невыполнимую практически задачу.
Таким образом, физически разумный метод решения системы уравнений Боголюбова заключается в том, чтобы начинать эту процедуру не с последнего уравнения для функции FN, а с первого для функции F1 и пытаться тем или иным способом «оборвать» эту систему. Если оказывается возможным выразить некоторую функцию Fn+1 как функционал от функций Fl (l
n), то такой «обрыв» системы (7) становится возможным, и мы придем к системе с конечным числом уравнений. В частности, если удается тем или иным способом выразить как функционал от F1 (x1, t) функцию F2 (х1, х2, t), мы получаем уравнение для одночастичной функции F1 (xl, t), которую принято называть кинетическим уравнением. Уравнение Больцмана и уравнение Фоккера-Планка представляют собой частные случаи кинетических уравнений.Мы уделяем особое внимание одночастичной и двухчастичной функциям F1 (xl, t) и F2 (xl, x2, t) по следующим причинам. Через одночастичную функцию могут быть выражены важные для газодинамического описания величины: средняя плотность числа частиц n(r, t), средняя скорость потока частиц и(r, t), средняя кинетическая энергия 3/2T(r, t), которые определяются формулами
(8) 
(9) 
(10)И другие важные для газодинамики величины, такие как тензор вязких сил, поток тепла и т. д., выражаются через одночастичные функции распределения. Двухчастичная функция распределения имеет особо важное значение для равновесного состояния системы. В равновесном состоянии она описывает корреляции между положениями частиц, имеющие, важное значение в теории флуктуации и в теории фазовых переходов.
Заметим, наконец, что в определение n-частичных функций Fn(x1, ..., хN, t), так же как и в определение FiN) (х1, ..., xN, t), вероятностный смысл был нами вложен «насильственно», и мы по существу получили систему уравнений (7), полностью эквивалентную уравнению Лиувилля, совершенно не связывая функции Fn с вероятностными характеристиками единичной системы. Отсюда следует, что система уравнений (7) есть система механических, а не статистических уравнений. Неудивительно поэтому, что эта система, так же как и уравнение Лиувилля, инвариантна по отношению к отражению времени — замене
и не может описывать необратимые макроскопические процессы. Необратимость вносится в формализм теории только определенными гипотезами сугубо вероятностного характера. Запишем в явном виде уравнения для F1 и F2, которыми нам придется заниматься более детально; при этом мы отбросим в множителе (N — n)/V, входящем в (7) слагаемое n=1, 2: 
, (11) 
(12)где
, (13) 
(14)Безразмерная форма уравнений Боголюбова. Факторизация и корреляционные функции. Свободно-молекулярное течение
Рассмотрим некоторые приближенные методы интегрирования системы уравнений Боголюбова. Эти методы основаны на том, что в двух случаях - весьма разреженного газа и при слабом взаимодействии между частицами газа - влияние одной частицы на состояние других частиц должно становиться слабым, и можно сделать пробное допущение о том, что в нулевом приближении n-частичная функция распределения факторизуется, т. е. представляется в виде произведения одночастичных функций
. (15)Отклонение точной n-частичной функции от факторизованного нулевого приближения принято характеризовать с помощью так называемых корреляционных функций Gn (x1, ..., хп, t), которые находятся по следующей схеме.
Для двухчастичной функции имеем
F2(0) (х1, х2, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t), (16)
F2 (x1, x2, t) = F2(0) (x1, x2, t) + G2 (x1, x2, t). (17)
Для трехчастичной функции -
F3(0) (х1, х2,x3, t) = F1 (х1, t) F1 (х2, t) F1 (х3, t), (18)
(19)и т. д.
Сформулируем теперь количественно условие разреженности газа и условие слабости взаимодействия. Пусть r0 — радиус действия межмолекулярных сил и U0 — характерная величина потенциальной энергии взаимодействия. Случай разреженного газа осуществляется, если r0 много меньше среднего расстояния между частицами ω1/3, и, следовательно, в этом случае малым параметром задачи является величина
. Случай слабого взаимодействия реализуется, если потенциальная энергия мала по сравнению с кинетической энергией ~ Т. Следовательно, в этом случае малым параметром задачи является величина β= U0/T.Допустим, что в обоих случаях корреляции между координатами и скоростями частиц являются слабыми и корреляционные функции Gn (x1, ..., хп, t) малыми по параметрам а или β соответственно.
Для того чтобы построить методы решения системы уравнений Боголюбова в этих предположениях, запишем систему (7) в более детализированном виде
(20)выделив в операторе
слагаемые, содержащие и не содержащие потенциал взаимодействия 
(21)
(22)
(23)
Перейдем в уравнениях (20) безразмерным переменным, выбрав в качестве единицы длины r0, скорости
, ускорения 
и времени 
. Для простоты мы не будем вводить новые обозначения для безразмерных переменных и сделаем в уравнениях (20) замены 
, 
(24)Кроме того, учитывая условие нормировки (19) для функци Fn(x1, ..., хN, t), из которого видно, что Fn имеет размерность
, введем безразмерную функцию распределения с помощью замены 
(25)Тогда уравнения Боголюбова (20) при
запишутся в виде 
(26)Заметим, что, предполагая факторизацию функций Fn в нулевом приближении,
Fn(0) = F1 (х1, t) F1 (х2, t)…F1(xn,t), мы получим для одной и той же функции F1 (xi, t) N уравнений. Ясно, что необходимым условием допустимости факторизации является совместность этих уравнений нулевого приближения.
Убедимся, что случай разреженного газа (
) 
приводит в нулевом приближении к несамосогласованной системе. Действительно, система уравнений (26) в нулевом приближении выглядит следующим образом: 
Легко видеть, что уравнения этой системы будут совместными только при условии отсутствия взаимодействия между частицами wik = 0. Следовательно, в случае разреженного газа корреляциями нельзя пренебрегать даже в нулевом приближении. Собственно говоря, этого следовало ожидать, так как для разреженного газа а << 1 «хорошим» кинетическим уравнением является уравнение Больцмана, которое несовместимо с требованием факторизации. Мы видели, что вывод уравнения Больцмана по Боголюбову предполагает только факторизацию функции F2 в «бесконечном прошлом».