Уравнения Больцмана, Лиувилля, Боголюбова (стр. 3 из 3)

Рассмотрим случай β = U0/T <<; 1,

, что соответствует горячему газу со слабым взаимодействием между частицами, который, однако, может быть достаточно плотным. Фактически при типичной глубине потенциальной ямы U0~ (10-1 - 10-2) эв U0/T<<1 выполняется уже при комнатных температурах. В этом случае в нулевом приближении получаем незацепляющиеся уравнения

(27)

в которых переменные х1,..., хп разделяются. Это значит, что предположение

является самосогласованным и одночастичная функция F1(0)(r, v, t) подчиняется уравнению

(28)

Интегрируя уравнение характеристик

(29)

находим, что решение уравнения (28) имеет вид

(30)

где ψ(r,v,t) - произвольная функция своих аргументов, совместимая с начальными и граничными условиями. Из выражения (30) следует, что F1(0)(r, v, t) остается постоянной вдоль динамической траектории частиц в μ-пространстве, чего и следовало ожидать для системы слабо взаимодействующих частиц в нулевом приближении.

Следующие приближения для функций Fn могут быть найдены последовательно из уравнений:

(31)

Решая первое из этих уравнений, можно в принципе найти F1, решая затем второе уравнение — найти G2 и, следовательно, F2 и т. д.

Мы ограничимся нулевым приближением (30) и в качестве иллюстрирующего примера рассмотрим задачу о свободном расширении газа в пустоту. Пусть в начальный момент t = 0 газ с максвелловским распределением по скоростям в одномерном случае занимает полупространство х<0. Затем стенка х = 0 удаляется и газ начинает расширяться.

Начальное распределение f(r, v, 0) задается тогда формулой

, (32)

где σ (х) — ступенчатая функция (напоминаем, что функция f(r, v, t) связана с F1 (r, v, t) соотношением f = F1n = F1/ω).

Согласно соотношению (30) продолжение во времени функции f(х, v, 0) дается формулой

(33)

Пространственная плотность числа частиц в точке х в момент времени t равна

, (34)

и средняя скорость газа u(x,t) равна

(35)

Так как п (х, t) и и (х, t) зависят только от x/t, то и распределение плотности газа, и распределение по скоростям в пространстве остаются подобными самим себе, а геометрическое место равных плотностей и равных скоростей потока равномерно перемещается вдоль оси х.

Сделаем в заключение следующее замечание. Поскольку уравнение свободно-молекулярного течения (27) представляет собой одночастичное уравнение Лиувилля, оно является, строго говоря, механическим, а не статистическим утверждением, и статистический смысл в него вложен «насильственно». Это проявляется, в частности, в обратимости решений уравнения (27). Например, если решение (32) при t = t0 принять за начальное условие и продолжить его во времени, заменив х на x+vxt, обратив направление скорости всех частиц, то спустя время t0 мы придем к исходному состоянию (32). В обращенном таким образом движении газ самопроизвольно сжимается вместо того, чтобы расширяться, и необратимость отсутствует.

Список использованных источников

1. Базаров И. П. Неравновесная термодинамика и физическая кинетика / Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. - М., 1989 – 240 с.

2. Гуревич Л. Э. Основы физической кинетики / Гуревич Л. Э. – М. 1940 – 245 с.

3. Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. Физическая кинетика / Лифшиц, Е. М., Питаевский, Л. П. - М.: Физматлит, 2007. - 536 с.