Смекни!
smekni.com

Численное решение уравнения Шредингера средствами Java (стр. 2 из 7)

Решение. Между функциями

и
имеются два взаимно обратных соотношения.

(2.1)

(2.2)

Если соотношение (2.1) использовать в качестве определения

и применить к нему операцию
, то с учетом определения 3-мерной
-функции,

,

в результате, как нетрудно убедиться, получится обратное соотношение (2.2). Аналогичные соображения использованы ниже при выводе соотношения (2.8).

Положим далее

,(2.3)

тогда для Фурье-образа потенциала будем иметь

(2.4)

Предполагая, что волновая функция

удовлетворяет уравнению Шредингера

(2.5)

Подставляя сюда вместо

и
соответственно выражения (2.1) и (2.3), получаем


В двойном интеграле перейдем от интегрирования по переменной

к интегрированию по переменной
, а затем эту новую переменную вновь обозначим посредством
. Интеграл по
обращается в нуль при любом значении
лишь в том случае, когда само подынтегральное выражение равно нулю, но тогда

.(2.6)

Это и есть искомое интегральное уравнение с Фурье-образом потенциала

в качестве ядра. Конечно, интегральное уравнение (2.6) можно получить только при условии, что Фурье-образ потенциала (2.4) существует; для этого, например, потенциал
должен убывать на больших расстояниях по меньшей мере как
, где
.

Необходимо отметить, что из условия нормировки

(2.7)

следует равенство

.(2.8)

Это можно показать, подставив в (2.7) выражение (2.1) для функции

:

.

Если здесь сначала выполнить интегрирование по

, то мы без труда получим соотношение (2.8).[2]

2. Методы численного решения нестационарного уравнения Шредингера

2.1 Метод конечных разностей для одномерного нестационарного уравнения Шредингера

В большинстве учебных пособий по квантовой механике изложение материала основано, как правило, на анализе решений стационарного уравнений Шредингера. Однако стационарный подход не позволяет непосредственно сопоставить результаты решения квантовомеханической задачи с аналогичными классическими результатами. К тому же многие процессы, изучаемые в курсе квантовой механики (как, например, прохождение частицы через потенциальный барьер, распад квазистационарного состояния и др.) носят в принципе нестационарный характер и, следовательно, могут быть поняты в полном объеме лишь на основе решений нестационарного уравнения Шредингера. Поскольку число аналитически решаемых задач невелико, использование компьютера в процессе изучения квантовой механики является особенно актуальным.

Нестационарное уравнение Шредингера, определяющее эволюцию волновой функции во времени, представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка по времени и имеет следующий вид

(3.1)

где

оператор полной энергии системы. Для одномерного случая


Общее решение уравнения (1) формально можно записать в виде

(3.2)

где

- волновая функция системы в момент времени

- оператор эволюции (пропагатор).

Особенностью выражения (3.2) является то, что в показателе экспоненты стоит оператор. Определить действие оператора эволюции на волновую функцию можно, например, разложив ее по собственным функциям оператора

. Так, в случае дискретного спектра
выражение для волновой функции в произвольный момент времени имеет вид

(3.3)

Аналогичное выражение может быть получено и для непрерывного спектра.

Разложение (3.3) удобно использовать в тех случаях, когда решения стационарного уравнения Шредингера для конкретной задачи являются известными. Но к сожалению круг таких задач очень ограничен. Большинство современных численных методов решения уравнения (3.1) основаны на использовании различных аппроксимаций оператора эволюции

. Так, например, разложение оператора эволюции в ряд Тейлора с сохранением первых двух членов дает следующую схему

,(3.4)

здесь

номер шага по времени. Существенным недостатком этого алгоритма является необходимость знать волновую функцию в моменты
и
. Кроме того, для оценки действия оператора
на функцию
нужно вычислять вторую производную по координате. Простейшая конечно-разностная аппроксимация второй производной

(3.5)

дает неудовлетворительный результат. (См. программный блок 1)[3]

2.2 Преобразование Фурье

Начнем с комплексного ряда Фурье

Рассмотрим случай L

.Тогда сумму можно преобразовать в интеграл следующим образом: определим
и
=g(y).Так как
возрастает каждый раз на единицу ,то

где
.

Таким образом, полученные выше формулы приобретают вид


(4.1)