Расчет переходных процессов в электрических цепях. Формы и спектры сигналов при нелинейных преобразованиях (стр. 2 из 2)

(7)

Из решения системы имеем

.

В результате для тока и напряжений в контуре получим

Переходные процессы в цепях второго порядка

E=70В

L=2мГн

С=9мкФ

R=ρ/4

Определение независимой переменной.

I_L – независимая переменная

Составляем дифференциальное уравнение для переходного процесса в цепи и записываем общее решение.

I_L(t)=i_св(t)+i_пр

Определим начальные условия.

t=0

I_L(0)=E/R=19.799А

Запишем решение дифф. уравнения для свободной составляющей.

i_св(t)=A*e^αt*sin(wt+θ)

Z_вх=2R+jwL+1/jwC

2R+pL+1/pC=0

LCp²+2RCP+1=0

p=-883.833-7.016i*10³

τ=1/|α|=1.131*10^-3

T=2π/w=8.956*10^-4

Определим принужденные составляющие при t=∞

i_пр=0

Определим постоянный интегрирования Aи θ

U_L(t)=LAαwe^αt *sin(wt+θ)

i_L(t)=Ae^αt*sin(wt+θ)

LAα*sin θ+ LAw*cosθ =0

Asinθ=19.799

-Acos θ=2.494

tg θ=19.799/Acos θ=7.938

θ=1.455

A=19.955

Спектральное представление периодических процессов в электрических цепях

Во многих случаях в установившемся режиме кривые периодических э.д.с., напряжений и токов в электрических цепях могут отличаться от синусоидальных. При этом непосредственное применение символического метода для расчета цепей переменного тока становится невозможным. Для линейных электрических цепей задача расчета может быть решена на основе метода суперпозиции с использованием спектрального разложения несинусоидальных напряжений и токов в ряд Фурье. В общем случае ряд Фурье содержит постоянную составляющую, первую гармонику, частота которой совпадает с частотой ω₁=2π/T периодического с периодом T тока или напряжения, и набор высших гармоник с частотами ω_n=nω₁, кратными основной частоте ω₁. Для большинства периодических функций ряд Фурье содержит бесконечное число членов. На практике ограничиваются конечным числом членов ряда. При этом исходная периодическая функция будет представлена с помощью ряда Фурье с некоторой погрешностью.

Пусть имеется периодическая с периодом Т э.д.с. е(t)=e(t±nT), удовлетворяющая условиям Дирихле (функция на интервале Т имеет конечное число разрывов и экстремумов). Такая функция может быть представлена суммой гармонических составляющих с различными амплитудами Е_n, частотами ω_n=nω₁ и начальными фазами φ_n в виде ряда Фурье

Ряд Фурье можно представить в другой форме:

Постоянная составляющая Е₀ и коэффициенты ряда Фурье В_n и С_n рассчитываются по формулам

Для нечетных функций е(t) коэффициенты С_n=0, а для четных B_n=0, Связь между коэффициентами B_n, C_n и амплитудами Е_n и фазами φ_n гармоник определяется соотношениями

.

Диаграмма, на которой изображают зависимость амплитуды гармоник E_n от частоты ω_n=nω₁, называют спектром.

Используя метод суперпозиции и спектральное представление периодической э.д.с. в виде ряда Фурье электрическую цепь можно рассчитать по следующей методике:

1. Несинусоидальная периодическая э.д.с. е(t) раскладывается в ряд Фурье и определяются амплитуды E_n и фазы φ_n всех гармоник э.д.с.

2. В интересующей ветви рассчитываются токи i₀, i₁,...i_n, создаваемые каждой гармоникой э.д.с.

3. Искомый ток в ветви находится как сумма токов

.

Так как составляющие тока i(t) либо постоянная величина i₀, либо синусоидальные токи i_n, то для их определения применяют известные методы расчета цепей постоянного и переменного синусоидального токов.

Рассчитать формы и спектры сигналов при нелинейных преобразованиях

Исходные данные:

U₀=0,5 В,

U₁=1 В,

U_m=1,5 В,

S=16 мА/В,

T=11 мкс

1. Рассчитаем угол отсечки θ в радианах и градусах

cos θ= (U₁-U₀)/U_m

θ=arcos(cosθ)=1.231 радиан θ=70.529 градусов

2. Рассчитаем амплитуду тока диода

I_m=S*U_m(1-cosθ)=16мА

3. Запишем выражение для мгновенного значения тока

Выражение для мгновенного значения напряжения

Найдем один из нулей функции напряжения

Найдем одну из точек, в которых функция принимает значения принужденного составляющего напряжения

Найдем две точки, в которых функция принимает значения отпирающего напряжения

Разность между двумя такими точками

стало быть,

4.Вычислим постоянную составляющую тока

мА

5.Изобразить временные диаграммы напряжения U(t) и тока i(t)

6. Вычислить амплитуду первой гармоники

мА

7.Используя общее выражение для n-ой гармоники тока рассчитать амплитуды второй, третьей, четвёртой и пятой гармоник тока

I_m2=4.536 мА

I_m3=1.734 мА

I_m4=-0.122 мА

I_m5=-0.555 мА

8.По полученным данным построить диаграмму спектра тока нелинейного элемента

9.Используя вычислительные возможности программы Mathcad, построить временную диаграмму тока для первых пяти гармоник

i(t)=I₀+I_m1 cosω₁t+I_m2 cosω₂t+I_m3 cosω₃t+ I_m4 cos ω₄t + I_m5 cos ω₅t