Законы сохранения механики (стр. 7 из 8)
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОДУЛЯ СДВИГА ПРИ ПОМОЩИ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
Цель работы: ознакомление с динамическим методом определения модуля сдвига.
Принадлежности: проволока из исследуемого материала, грузы, секундомер.
Если механический стержень с двумя симметрично расположенными грузами, подвешенный горизонтально к металлической проволоке, заставить колебаться, то уравнение движения для этого случая запишется в виде
, (1)Здесь: М – момент сил, происходящий из упругих деформаций; I – момент инерции стержня с грузом; j – угол поворота стержня. Если амплитуда колебаний невелика, то для определения момента сил можно воспользоваться законом Гука в форме
M=fj, (2)
где f – модуль кручения проволоки (
).Момент М в этом случае вызван деформацией проволоки и стремится уменьшить, а не увеличить угол j. В формуле (2) поэтому необходимо изменить знак.
После подстановки (2) в (1) формула приобретает вид
, (3)где
.Выражение (3) является дифференциальным уравнением 2-го порядка. Его решение находится в виде гармонической функции.
j=j0 sin(wt+q), (4)
где амплитуда j0 и фаза q определяются начальными условиями. Таким образом, w является угловой частотой крутильных колебаний стержня, период которых равен
, (5)Следует заметить, что последняя формула получена для незатухающих колебании, в то время как на самом деле колебания стержня всегда затухают. Если, однако, затухание невелико, т. е. изменение амплитуды колебаний за период много меньше самой амплитуды, то формулой (5) можно пользоваться. Критерием ее применимости служит неравенство
n>>1, (6)
где n – число полных колебаний, после которого амплитуда уменьшается в 2 – 5 раз.
Отметим, что период Т, как видно из формулы (5), не зависит от амплитуды. Однако при больших амплитудах закон Гука нарушается и такая зависимость может проявляться. Таким образом, вторым условием применимости данного метода является соблюдение равенства Т = const.
Описание экспериментальной установки
Данные прибора: 2m = 410,8 + 410,8 = 821,6 г; расстояние от центров грузов до оси системы (при установке грузов внутренней стороной на риску):
1-я риска – 0,1 м, 2-я риска – 0,15 м, 3-я риска – 0,2 м, 4-я риска – 0,25 м, 5-я риска – 0,288 м.
Экспериментальная установка (рис. 7) состоит из длинной вертикально висящей проволоки 1, к нижнему концу которой прикреплен горизонтальный металлический стержень 2 с двумя симметрично расположенными грузами 3. Их положение на стержне можно фиксировать. Верхний конец проволоки зажат в цангу 4 и при помощи специального приспособления вместе с цангой может поворачиваться вокруг вертикальной оси. Таким образом, в системе можно возбудить крутильные колебания.
Ход работы
1. Прежде всего установите диапазон амплитуд, в котором выполняется условие (6). Для этого укрепите грузы на некотором расстоянии от проволоки и возбудите в системе крутильные колебания. Измеряя время нескольких полных колебаний, найдите период T1. Затем, уменьшив амплитуду вдвое, тем же способом найдите соответствующий период Т2. Если T1=T2 то для проведения измерений можно выбрать любую амплитуду, но не больше первой. Если же окажется, что T1¹T2, то амплитуду необходимо уменьшить до такого значения j, начиная с которого для всех j0=j будет справедливо равенство T1 =T2.
2. Установите грузы так, чтобы их центры находились на некотором расстоянии L1 от оси системы, измерьте период, как описано выше. Если I – момент инерции стержня без грузов, а I1 – момент инерции грузов, то очевидно, что
. (8)Изменив расстояние грузов до значения L2, аналогично получим
.(9)Из (8) и (9) следует
, (10)где m – масса одного груза.
Измерьте период колебаний для трех разных положений грузов на оси маятника (L1, L2, L3). Определите величину f по формуле (10) для нескольких (не менее трех) пар значений L1и L2. Результаты измерений и вычислений занесите в таблицу:
| Расстояние до груза | i | ti,c |  ,c | (Dt1)2,c2 | T, c |
| L1=15 см | 1:5 | ||||
| L2=20 см | 1:5 | ||||
| L3=25 см | 1:5 |
3. Зная f, вычислите значение модуля сдвига G, который связан с модулем кручения формулой
, где r – радиус проволоки (r=(1±0,01) мм), l – длина проволоки (l=(508±1) мм). Сравните экспериментальное значение модуля сдвига G с табличным значением для стали.4. Вычислите погрешность результатов косвенного измерения f и G. Число колебаний N = 20; t – время, за которое происходит 20 колебаний; период одного колебания Т = t /N.
Контрольные вопросы
1.Как формулируется основной закон динамики вращательного движения?
2.В каком случае правую часть уравнения (1) можно записать в таком виде?
3.Что такое деформация кручения? Проиллюстрируйте графически деформацию кручения балки, закрепленной на одном из концов.
4.Каков физический смысл параметров f и G?
5.В каком случае справедлива формула М =fj?
6. Запишите уравнение гармонических незатухающих колебаний в дифференциальной форме и сравните его с уравнением (3). Какой вывод можно сделать из этого сравнения?
Когда гармонические колебания станут ангармоническими?
Рекомендуемая литература
1. Савельев И.В. Курс общей физики. М.: Наука, 1977. Т. 1. § 33, 38, 45, 64, 86.
Лабораторная работа №8
ИССЛЕДОВАНИЕ ПРЯМОЛИНЕЙНОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛ В ПОЛЕ ТЯЖЕСТИ НА МАШИНЕ АТВУДА
Цель работы: опытное изучение равноускоренного движения и нахождение ускорения свободного падения.
Принадлежности: машина Атвуда, секундомер, набор перегрузков.
Краткая теория
Машина Атвуда предназначена для исследования закона движения тел в поле земного тяготения. Естественнее всего изучать этот закон, исследуя свободное падение тел, но этому, однако, мешает большая величина ускорения свободного падения. Поэтому опыт возможен либо при очень большой высоте прибора (намного выше высоты комнаты), либо с применением специальных методов, позволяющих точно измерить небольшие промежутки времени (доли секунды). Машина Атвуда позволяет избежать этих трудностей и замедлить движение до удобных скоростей.
Машина Атвуда состоит из вертикальной штанги 2 со шкалой (рис. 8), сверху которой установлен легкий пластмассовый блок, укрепленный на корундовых подшипниках и способный вращаться вокруг оси с незначительным трением. Через блок перекинута нить, на концах которой прикреплены грузы А и В, имеющие равные массы М. На груз А могут надеваться один, два или несколько перегрузков. Система грузов в этом случае выходит из равновесия и начинает двигаться ускоренно.
Найдем закон движения груза А. При расчетах будем пользоваться неподвижной системой координат, центр которой совпадает с осью блока. Ось ОХ направлена вниз. На груз А действуют две силы – сила тяжести (M+m)g и сила натяжения левой части нити T1, m – масса перегрузка, лежащего на грузе А. По второму закону Ньютона:
(М + m)g –T1 = (М+m)a, (1)
где a – ускорение груза А.
1– подставка (столик), передвигающаяся по штанге,
2– вертикальная штанга со шкалой,
3– грузы одинаковых масс,
4– электромагнит для удерживания грузов,
5– легкий пластмассовый блок,
6– тонкая капроновая нить.
Применим второй закон Ньютона к движению груза 3. В силу нерастяжимости нити ускорение груза 3 равно ускорению груза А по абсолютной величине и направлено в противоположную сторону, следовательно, оно равно а. Натяжение правого конца нити обозначим через Т2. Тогда
Mg-T2=Ma. (2)
Запишем основное уравнение динамики вращательного движения твердых тел применительно к блоку:
.Здесь
– суммарный момент сил относительно оси вращения, приложенный к блоку; I – момент инерции вращающего тела; 
– угловое ускорение.Угловое ускорение связано с линейным ускорением a следующим образом
,где R – радиус блока.
Запишем для пластмассового блока (с учетом двух последних выражений) основной закон динамики вращательного движения:
, (3)