Подставим оператор
в левый интеграл соотношения (2.5а) и преобразуем его, пользуясь эрмитовостью операторов и : (2.5б)Аналогично преобразуем интеграл, стоящий в правой части соотношения (2.5.а):
(2.5в)В процессе преобразования мы сначала воспользовались свойством эрмитовости операторов
и , а затем поменяли местами функции стоящие под знаком интеграла.Сравнивая соотношения (2.5б) и (2.5в) приходим к выводу, что для оператора
условие (2.5а) выполняется. Следовательно, если и эрмитовы операторы, то оператор также эрмитов.2.6. Доказать, что
.Решение.
. Подействуем оператором на функцию :Следовательно,
и .2.7. Доказать, что если операторы
и коммутируют, т.е. , то и операторы и также коммутируют.Решение.
После умножения и сокращения одинаковых величин получаем
.Таким образом, если
, то и .2.8. Доказать, что интеграл
можно преобразовать в трехчлен , где - произвольный вещественный параметр, и, следовательно (см.упр.2.7), .Решение.
(2.8)Пользуясь эрмитовостью оператора
преобразуем первый интеграл в правой части равенства: .Аналогичным образом преобразуем четвертый интеграл:
.Второй и третий интегралы преобразуем, пользуясь самосопряженностью операторов
и .Объединим второе и третье слагаемое в правой части соотношения в (2.8) в один интеграл. Получаем
. Умножив и разделив это выражение на имеем .Таким образом
,что и требовалось доказать.
2.9. В состоянии квантовомеханической системы, описываемом заданной волновой функцией
, физическая величина имеет определенное значение. Имеет ли в этом состоянии определенное значении также и величина в случае, если операторы и : 1) не коммутируют, 2) коммутируют.2.10. Найти собственные значения и нормированные собственные функции следующих операторов:
а)
,б)
,в)
.2.11. Найти собственные функции оператора координаты (в координатном представлении).
Решение. Уравнение собственных значений для оператора
имеет вид ,где,
- собственная функция, соответствующая собственному значению . Очевидно, что , если . Воспользуемся свойством -функции (2.6.5): . Напишем это соотношение для аргумента : .Раскрывая скобки, получаем
или . Следовательно, собственная функция оператора , соответствующая собственному значению есть .Литература
1. Дирак П. Принципы квантовой механики.–М: Наука, 1979.
2. Вакарчук І. О. Квантова механіка: Підручник.– Львів: ЛДУ ім.. І. Франка, 1998.
3. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Наука, 1983.
4. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973.
5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Наука, 1989.
6. Юхновський І.К. Квантова механіка. Київ: Либідь, 1995.
7. Федорченко А.М. Теоретична фізика. Київ: Вища школа, 1993, т. 2.
8. Фок В.А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976.
9. Шифф Л. Квантовая механика. М.: Из-во иностр. лит., 1959.
10. Мессиа А. Квантовая механика: в 2-х томах, М.: Наука, 1978, т. 1.
11. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: «Высшая школа», 1991.
12. Галицкий В.М., Карнаков Б.М., Коган В.И. Задачи по квантовой механике. М.: Наука, 1981.
13. Арфкен Г. Математические методы в физике. М.: Атомиздат, 1970.
14. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики, М.:1982.
[1] Об обобщенных функциях см. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции. М., 1958