1.4. В момент времени
волновая функция частицы имеет вид , где и – постоянные. Определить нормировочный коэффициент , изобразить примерный вид зависимости от и область локализации частицы.Указание. Распределение вероятностей, описываемое плотностью вида
называется нормальным или гауссовским,
– среднее значение случайной величины, – ее дисперсия.1.5. Частица локализована на оси
в области и ее состояние описывается функциейВычислить среднее значение ее координаты
и дисперсию .2. Операторы квантовой механики
2.1 Операторы динамических переменных
Функция есть рецепт, позволяющий по данному числу x найти другое число
. Подобно этому оператор – рецепт, позволяющий по заданной функции найти другую функцию . Оператор определен на некотором множестве функций, если указано действие, с помощью которого каждой функции множества сопоставляется другая функция: . (Оператор будем обозначать буквой со “шляпкой”).Примеры:
1. Если функция
получается из с помощью операции дифференцирования, то это можно записать следующим образом: ,где
- оператор, действующий на функцию .2. В физике часто используют оператор Лапласа:
.3. Оператор умножения на независимую переменную x:
.Физика имеет дело с наблюдаемыми процессами, явлениями, объектами. Наблюдения, измерения всегда связаны со взаимодействием изучаемого объекта с чем-то внешним (окружением, прибором, наблюдателем). Это взаимодействие всегда сопровождается возмущением изучаемого объекта. В классической физике предполагалось, что это возмущение можно сделать как угодно малым и им пренебречь. Однако существование кванта действия
означает, что есть предел малости возмущения, которым для микрообъектов пренебречь нельзя. Измерение в квантовой механике – взаимодействие макроприбора с микроскопической системой – существенно меняет состояние последней. Физической процедуре измерения в математическом формализме теории соответствует оператор, действующий на -функцию, характеризующую состояние системы. Измерение меняет состояние системы, оператор изменяет -функцию, характеризующую состояние.Следующее утверждение считается одним из постулатов квантовой механики:
каждой физической величине
в квантовой механике соответствует оператор . Он определяется таким образом, чтобы среднее значение этой величины в состоянии выражалось соотношением (2.1.1)или в скобочной форме
(2.1.1а)Здесь q – набор независимых переменных, от которых зависит
-функция, – произведение дифференциалов этих переменных. Интегрирование проводится по всей области изменения независимых переменных. Операторы динамических переменных обозначают теми же буквами, что и соответствующие физические величины, но со “шляпкой” над ними. Например, оператор координаты , оператор импульса , оператор энергии и т.п.Чтобы не нарушался принцип суперпозиции, операторы динамических переменных в квантовой механике должны быть обязательно линейными. Применение оператора к суперпозиции функций
и должно равняться суперпозиции результатов действия этого оператора к каждой из функций и . Оператор называется линейным, если он удовлетворяет условиям: ,где с – произвольная постоянная. Эти условия можно объединить
.Типичные примеры линейных операторов: умножение на независимую переменную
, дифференцирование по x .Операторы динамических переменных должны быть обязательно самосопряженными (эрмитовыми). Это следует из требования, чтобы измеряемые в процессе опытов физические величины выражались действительными числами. Следовательно, среднее значение физической величины, представляемой оператором
, также должно быть действительным числом, т.е. .Используя соотношение (2.1.1) запишем это равенство в интегральной форме
(2.1.2)или с помощью скобок
(2.1.2а)Операторы, для которых выполняется это соотношение, считаются самосопряженными (эрмитовыми). Дадим общее определение такого оператора.
Каждому оператору
можно привести в соответствие другие: комплексно сопряженный с ним , транспонированный , сопряженный .Оператор
является комплексно сопряженным с оператором , если выполняется соотношение: .Операторы
и называют транспонированными друг с другом, если выполняется соотношение (2.1.3)или в скобочной форме
. (2.1.3а)Оператор
называют сопряженным оператору . Следовательно, для произвольной пары функций и и операторов и имеет место соотношение