или в интегральной форме
. (2.1.4а)Самосопряженным называется оператор, если он равен своему сопряженному:
= .Из соотношения (2.1.4) следует, что для самосопряженного оператора и произвольной пары функций
и должно выполняться равенство: (2.1.5)или
(2.1.5а)Пример.Найти оператор, сопряженный с
. Является ли этот оператор самосопряженным?Подставим оператор
в левую часть равенства (2.1.4а) и проинтегрируем полученный интеграл по частям:Так как
,имеем .Сравнивая это соотношение с (2.1.4а), получаем
. В данном случае , поэтому оператор не является самосопряженным.2.2 Алгебраические действия с операторами
Имея в распоряжении несколько простых операторов можно получить из них более сложные.
Суммой операторов
и называют оператор , который определяется следующим образом: .Символически это записывается так:
.Например,
Произведением операторов
и будем называть оператор , который определяется следующим образом: ,причем на функцию сначала действуем ближайшим к ней оператором, а потом на полученный результат – следующим,
.Символически произведение операторов записывается в виде
.Например,
. Подействуем произведением этих операторов на функцию : .Если действие одного и того же оператора повторяется n раз, это записывается в виде степени этого оператора:
.Например,
.Произведение операторов зависит от порядка множителей. Например, если
, то Но . Очевидно, что в этом случае . Таким образом, операторы, вообще говоря, являются некоммутативными (неперестоновочными). Если , то операторы называют комутирующими. В этом случае . Выражение называют коммутатором.2.3 Собственные функции и собственные значения оператора
В результате действия оператора
на функцию иногда получается та же самая функция, умноженная на некоторое число а: (2.3.1)Например,
.Если имеет место уравнение (2.3.1) и функции
удовлетворяют стандартным условиям (конечность, непрерывность, однозначность), то называют собственной функцией оператора , а число – его собственным значением, соответствующим данной собственной функции . Соотношение (2.3.1) называют уравнением собственных значений оператора. Совокупность чисел , при которых это уравнение имеет решение, удовлетворяющее стандартным условиям, называют спектром собственных значений оператора. Спектр собственных значений может быть как дискретным, так и непрерывным множеством. Если спектр собственных значений дискретный, то собственные функции и собственные значения нумеруют: , n= 1, 2, 3,…Число n называют квантовым.
Иногда одному и тому же собственному значению соответствует несколько собственных функций. В таком случае говорят, что собственное значение является вырожденным. Число разных функций, принадлежащих одному и тому же собственному значению, называют кратностью вырождения.
Перейдем к физической интерпретации рассмотренных выше математических понятий. Отклонение физической величины A от ее среднего значения
есть: . Введем оператор, соответствующий этой величине: . Тогда по формуле (2.1.1) можно найти среднее квадратичное отклонение физической величины от ее среднего значения в состоянии : .Пользуясь самосопряженностью операторов квантовой механики, преобразуем интеграл в правой части этого соотношения:
,следовательно
(2.3.2)Теперь мы имеем возможность найти состояния, в которых физическая величина А имеет точно определенное значение. В таких состояниях среднее квадратичное отклонение должно равняться нулю, т.е.
. Следовательно, =0.Поскольку под интегралом находится положительная величина, последнее равенство возможно при условии
, т.е. или (2.3.3)Так как в состоянии
, удовлетворяющем уравнению (2.3.3) физическая величина точно определена, она равна своему среднему значению. Обозначая это значение физической величины буквой а, можем записать = и . Т.е. является собственным значением оператора , соответствующим собственной функции . Таким образом, в состоянии, которое описывается собственной функцией оператора ,соответствующая физическая величина имеет точно определенное значение, равное собственному значению этого оператора. Если же -функция, описывающая состояние системы, не является собственной функцией оператора физической величины, то при ее измерении в этом состоянии будем получать различные значения из спектра собственных значений данного оператора. Это утверждение обычно формулируют в виде одного из постулатов квантовой механики.