Собственные значения оператора, сопоставляемого данной физической величине, являются теми значениями этой величины, которые реализуются в процессах измерения.
Это утверждение (3-й постулат) имеет очень большое значение для физической интерпретации математического аппарата квантовой механики. Требование, чтобы собственные функции оператора удовлетворяли стандартным условиям часто ограничивает возможные значения физической величины. Учет этих требований приводит к дискретному спектру собственных значений. Таким образом, мы имеем дело с математическим отображением процесса квантования в физике.
2.4 Свойства собственных значений и собственных функций эрмитовых операторов
а) Докажем, что собственные значения самосопряженных операторов являются действительными числами.
Доказательство. Напишем уравнение собственных значений
и комплексно с ним сопряженное
Умножим левую и правую часть первого уравнения слева на
, второго на и проинтегрируем их по всей области изменения независимых переменных , .Поскольку операторы самосопряженные, левые части этих равенств одинаковы (см. соотношение (2.1.2)). Вычитая почленно второе соотношение из первого, получаем
.Поскольку функции квадратично интегрируемы и интеграл в левой части, по условию нормировки, равен единице, получаем
или . Это означает, что собственные значения самосопряженных операторов – действительные числа. Поэтому в квантовой механике могут использоваться только самосопряженные операторы – при измерении физических величин можно получить только действительные значения.б) Докажем, что собственные функции самосопряженных операторов, соответствующие разным собственным значениям, взаимно ортогональны. Для определенности принимаем, что спектр собственных значений оператора дискретный и вырождение отсутствует.
Доказательство. Напишем уравнения собственных значений для операторов
и : , ,Умножаем левую и правую часть на
слева, второго – на справа и интегрируем по всей области изменения независимых переменных: , .Вычитаем почленно второе уравнение из первого и, учитывая эрмитовость оператора
, (см. равенство (2.1.4а)), получаем (2.4.1)Если
, то и из этого соотношения следует (2.4.2)или
, (2.4.2а)что и требовалось доказать. Если
, скобка в соотношении (2.4.1) равна нулю, а интеграл, по условию нормировки, должен равняться единице: (2.4.3)Формулы (2.4.2) и (2.4.3) можно объединить в одну
или
, (2.4.4а)где
- символ Кронекера,Аналогичное соотношение имеет место для ортов прямоугольных координатных осей в евклидовом пространстве:
.Функции, удовлетворяющие условию (2.4.4) называют ортонормированными.
Физический смысл ортогональности собственных функций
и оператора заключается в том, что при измерении физической величины в этих состояниях мы обязательно получим разные значения: - в состоянии , - в состоянии . В дальнейшем мы вернемся к обсуждению значения ортогональности собственных функций эрмитовых операторов в структуре квантовой теории.в) Докажем, что совокупность собственных функций эрмитового оператора является полной (замкнутой) системой. Это означает, что не существует еще какой-то другой функции, которая была бы ортогональна к собственным функциям данного эрмитового оператора.
Доказательство. Пусть
- собственные функции оператора с дискретным спектром собственных значений, а - произвольная квадратично интегрируемая функция. (Для простоты рассуждений независимой переменной будем считать координату х).Разложим
-функцию в ряд по собственным функциям : . (2.4.5)Сумма в правой части равенства содержит
первых членов разложения, - остаток. Коэффициенты нужно определить так, чтобы получить возможно меньшую погрешность (остаток). Мера погрешности: .Так как собственные функции ортонормированы, интеграл в правой части можно преобразовать следующим образом:
квантовый механический система функция импульс
.Будем искать минимум
, приравнивая нулю производные по и . Из условия минимума, учитывая ортонормированность собственных функций , получаем следующие выражения для этих коэффициентов: