Интегрирование производится по всей области значений, которые может принимать величина
.Естественно считать
вероятностью того, что рассматриваемая физическая величина в состоянии, описываемом функцией имеет значение в интервале от оси до . Как известно, сумма вероятностей всех возможных значений случайной величины должна равняться единице: . (2.5.2)Условие полноты (2.4.7) для системы собственных функций оператора с непрерывного спектра имеет вид
. (2.5.3)(Сумма величин
заменена интегралом).Воспользовавшись разложением (2.5.1) преобразуем последнее выражение
.Тогда условие полноты принимает вид
.Отсюда следует
. (2.5.4)(Сравните с (2.4.6)). Подставим интеграл (2.5.1) в (2.5.4):
. (2.5.5)Это соотношение должно выполняться при любых
, т.е. оно должно выполняться тождественно. Для этого необходимо, во-первых, чтобы интеграл обращался в нуль, если . Во-вторых, при этот интеграл должен обращаться в бесконечность, так как иначе правая часть равенства (2.5.5) будет равна нулю. Таким образом, интеграл зависит от разности . Он обращается в нуль, если разность отлична от нуля и в бесконечность, если она равна нулю. Выражение с такими свойствами называют дельта-функцией Дирака. Она была предложена английским физиком П. Дираком. Обозначим ее .Тогда
. (2.5.6) .Таким образом, условие (2.5.3) будет выполняться, т.е выражение
можно будет интерпретировать как вероятность обнаружить значение физической величины в интервале от до , если собственные функции непрерывного спектра оператора нормированы на -функцию. Кроме того, система функций, удовлетворяющая условию (2.5.6) ортогональна.(Это следует из свойств
-функции). Формула (2.5.6) является обобщением формулы (2.4.4) на случай непрерывного спектра собственных значений.2.6 Дельта-функция Дирака
К необходимости введения
-функции П. Дирак пришел при рассмотрении величин, содержащих бесконечности. Она определяется следующим образом: (2.6.1)Пределы интегрирования могут быть любые другие, лишь бы точка
находилась между ними.“Для того, чтобы получить наглядное представление о
, рассмотрим функцию вещественной переменной , которая обращается в нуль повсюду за исключением малого промежутка … , внутри которого находится точка , причем внутри этого промежутка функция настолько велика, что интеграл от нее по промежутку равен единице. Точное поведение функции внутри промежутка несущественно…” [1, с.90].Наиболее важное свойство
-функции выражается с помощью соотношения , (2.6.2)где
- произвольная непрерывная функция от , область интегрирования должна содержать точку . Это свойство вытекает из определения -функции (2.6.1). Действительно, левая часть (2.6.2) может зависеть только от тех значений , для которых аргумент близок к нулю. Поэтому можно заменить на . Тогда из (2.6.1) и (2.6.2) получаемЕсли в соотношении (2.6.2) перенести начало координат, получим
, (2.6.3)где
-действительное число. Область интегрирования включает точку . (Область интегрирования не обязательно должна быть от до . Она должна включать в себя особую точку, в которой -функция не обращается в нуль).Приведем еще несколько соотношений, выражающих свойства
-функции. Смысл их заключается в том, что если в подынтегральное выражение входит в качестве множителя одна из сторон этих соотношений, то ее без изменения значения интеграла можно заменить другой стороной.1. Дельта-функция является четной:
. (2.6.4)2. Часто используют свойство
-функции . (2.6.5)Докажем его справедливость. Для этого рассмотрим функцию
. Согласно свойству (2.6.2)или
.Поскольку
, имеем ,откуда и следует свойство (2.6.5).
3. Часто бывает полезным соотношение
(2.6.6)Для доказательства сначала воспользуемся свойством (2.6.4), а затем введем новую переменную
, : .Введем обозначение
. Тогда правую часть последнего соотношения можно переписать следующим образом .Согласно свойству (2.6.2) интеграл в правой части равен
, но : .Таким образом
.Но к такому же результату прийдем, рассмотрев интеграл
.