Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции (стр. 1 из 10)

Содержание:

Введение

I. Понятие состояния квантово-механической системы. Принцип суперпозиции.

1.1 Описание состояний квантовомеханической системы. Волновая функция (амплитуда вероятности).

1.2 Принцип суперпозиции состояний.

1.3 Понятие гильбертова пространства.

II. Операторы квантовой механики.

2.1 Операторы динамических переменных.

2.2 Алгебраические действия с операторами.

2.3 Собственные функции и собственные значения операторов.

2.4 Свойства собственных значений и собственных функций эрмитовых операторов.

2.5 Операторы с непрерывным спектром собственных значений.

2.6 Дельта-функция Дирака.

2.7 Операторы координаты и импульса.

2.8 Соотношение неопределенности.

Литература

I. Понятие состояния квантовомеханической системы. Принцип суперпозиций состояний

1.1 Описание состояний квантовомеханической системы. Волновая функция (амплитуда вероятности)

Опираясь на гипотезу де Бройля о том, что свободной частице соответствует монохроматическая волна, а также на многочисленные экспериментальные факты, свидетельствующие о наличии и смысле волновых свойств у частиц вещества, формулируем 1-ый постулат квантовой механики:

Состояние квантовомеханической системы определяется

-функцией (вообще говоря, комплексной), которая называется волновой функцией или амплитудой вероятности.

-функция может зависеть от пространственных координат квантовомеханической системы и времени. Для одной частицы в декартовых координатах в таком случае имеем

Квадрат модуля

-функции

есть вероятность обнаружить частицу в точке с координатами

в момент времени . Задавая координаты и момент времени можно определить значение -функции, а, следовательно, и плотность вероятности локализации частицы в том или ином месте пространства. Таким образом, квантовомеханическое описание состояния системы связано одновременно со всем пространством. Вероятность обнаружить частицу в элементе объема (т.е. вероятность того, что ее координаты заключены в пределах от до , от до , от до ) определяется выражением

(1.1.1)

Предположим для простоты, что волновая функция зависит только от координаты

. Тогда среднее значение этой координаты в момент времени определяется выражением

. (1.1.2)

Для произвольной функции

(1.1.2а)

Интегрирование проводится по всей области изменений независимой переменной.

Хотя термин "волновая функция" используется очень часто,

-функция может не иметь ничего общего с функцией, описывающей волну в классическом понимании. Она не обязательно должна зависеть от пространственных координат, но может являться функцией других динамических переменных, например, импульса, энергии и т.д. Например, есть вероятность того, что в момент времени квантовомеханическая система имеет импульс . Поэтому -функцию лучше называть амплитудой вероятности. С помощью -функции можно найти все распределения вероятностей для результатов измерения над системой.

Поскольку квадрат модуля

-функции есть плотность вероятности соответствующего значения динамической переменной в определенный момент времени, она ( -функция) должна быть однозначной, непрерывной и конечной. Совокупность перечисленных требований называют стандартными условиями.

Проинтегрировав левую и правую часть выражения (1.1.1) по всей области изменения независимых переменных получаем:

, (1.1.3)

поскольку

– плотность вероятности локализации частиц в данной точке и частица обязательно где-то находится. Это соотношение называется условием нормировки -функции (на единицу). Так как независимыми переменными могут быть не только координаты, но и другие физические величины в общем случае имеем

, (1.1.4)

где

– произведение дифференциалов независимых переменных. Например, если -функция зависит от импульса частицы, то .

Условие нормировки накладывает на

-функцию требование квадратичной интегрируемости:

(1.1.5)

Это означает что

-функция должна быстро убывать при стремлении независимых переменных (например, координат) к бесконечности. Бывают ситуации, когда -функция не является квадратично интегрируемой. В таком случае применяются другие способы нормировки, целесообразные с физической точки зрения. Для таких квантовомеханических систем не имеет смысла плотности вероятности, но может быть интерпретирована как величина пропорциональная ей.

1.2 Принцип суперпозиции состояний

Опыт показывает, что между возможными состояниями квантовомеханической системы в любой момент времени существует определённая связь. Выражают её математически в виде соотношения между соответствующими

–функциями и называют принципом суперпозиции.

Если квантовомеханическая система может находится в состоянии

, в котором физическая величина имеет значение либо в состоянии , в котором та же величина имеет значение , то она может находиться и в состоянии , в котором при измерении величины получают либо , либо .

Это утверждение обобщается на любое число различных состояний:

, (1.2.1)

где постоянные

являются, вообще говоря, комплексными числами. Таким образом, в состоянии величина является неопределённой.

Предположим, что состояния

одинаковы: . Это означает, что физическая величина в этих состояниях имеет одно и тоже значение . Из принципа суперпозиции следует: