Элементы теории представлений (стр. 2 из 5)

2. Обозначения Дирака

Проведена аналогия между собственными функциями эрмитовых операторов и ортами прямоугольных координатных осей. Продолжим ее обсуждение.

Вектор

в - мерном пространстве задается совокупностью , вообще говоря, комплексных величин, называемых компонентами этого вектора

Аналогия между соотношениями и очевидна. Выражение определяет вектор через его проекции на оси координат в многомерном пространстве. Выражение является разложением

-функции по собственным функциям некоторого оператора. Систему ортонормированных собственных функций , следовательно, можно рассматривать как базис в бесконечномерном пространстве, а величины – как компоненты -функции по осям этого базиса. В зависимости от выбора базиса (т. е. от выбора системы собственных функций, следовательно, от выбора представления) получается та или иная совокупность компонент .

Переход от одного представления к другому геометрически означает переход от системы координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) одного оператора к системе координат, образованных базисными векторами (собственными функциями) другого оператора. Таким образом, квантовое состояние микрообъекта не обязательно должно характеризоваться волновой функцией в реальном пространстве. Квантовое состояние не сводится к одной какой-то совокупности амплитуд вероятности

и т. п. Каждая из этих совокупностей отражает одну из сторон понятия квантового состояния и является одной из возможных его реализаций. Аналогично, вектор в

- мерном евклидовом пространстве может быть представлен совокупностью его проекций в различных системах координат:

,

и т. п. Здесь

– базисные векторы (орты), например, в сферической системе координат, – в декартовой.

Данная аналогия привела П. Дирака к мысли характеризовать состояние системы вектором состояния в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Вектор состояния он предложил обозначать символом

. В середине скобки, по Дираку, должен помещаться индекс состояния, т. е. величина или набор величин, которые определяют состояние системы. Например, если система находится в состоянии с энергией , то записывают или . Этот вектор состояния называют кэт-вектором. Он характеризует состояние системы независимо от выбора представления. Кэт-вектору сопоставляется бра-вектор, обозначаемый зеркально отраженной скобкой . Бра-вектор связан с кэт-вектором соотношением = ⁺. Например, если совокупность компонент кэт-вектора представлена в виде матрицы

= , то = ⁺= .

Внутри скобки

помещается индекс представления. Например, | означает, что используется координатное представление. Скалярное произведение кэт и бра-векторов обозначается полным скобочным выражением и представляет собой число. Например, волновая функция в - представлении с помощью скобок записывается так: . Волновая функция свободной частицы, находящейся в состоянии определенным значением импульса в координатном представлении (время фиксировано):

,

Название «бра» и «кэт» соответствуют двум частям английского слова «bracket» (скобка).

Волновая функция (амплитуда вероятности), как известно, характеризует вероятность результатов измерений, проводимых над системой. Скобочное выражение

составлено так, что справа указывается начальное состояние, а слева – то, в которое переходит система при измерении, т. е. конечное. Таким образом, скобочная запись читается справа налево. Например, есть амплитуда вероятности того, что система будет иметь координату , если она находится в состоянии характеризуемом импульсом .

Уравнение собственных значений в обозначениях П. Дирака можно записать в виде:

Здесь собственный вектор состояний

обозначается той же буквой, что и соответствующее собственное значение. Запишем, пользуясь этими обозначениями, выражение. Пусть вектор состояния системы, а – базисная система векторов. Тогда

>= , где

Вектор состояния системы – понятие более абстрактное, чем волновая функция. В зависимости от выбора независимых переменных (представления) вектору состояния

могут соответствовать различные волновые функции: в координатном представлении – , в импульсном – , в энергетическом – и т.д. Т.е. волновая функция есть проекция вектора состояния на соответствующий базисный вектор.

Получим в обозначениях Дирака условие полноты ортонормированного базиса. Оно часто бывает полезным при использовании этого формализма.

Пусть

- единичный оператор, который любому вектору состояния ставит в соответствие тот же вектор:

Представим

в виде разложения по ортонормированному базису (т.е. по системе собственных векторов оператора ):

Подставляем это разложение в:

В силу произвольности вектора

получаем

Это соотношение и является условием полноты в обозначениях Дирака.