Элементы теории представлений (стр. 4 из 5)
где
- оператор в 
- представлении.Вопросы для самопроверки
1. Что называют индексом состояния? индексом представления?
2. Как, зная волновую функцию системы в одном представлении, найти ее в другом представлении?
3. Как, зная вид оператора в одном представлении, найти его в другом представлении?
4. Определите понятие матричного элемента оператора.
5. Что представляет собой матричные элементы оператора в его собственном представлении?
6. Что такое вектор состояния, кэт-вектор, бра-вектор? Какая связь между
и 
?7. Какая связь между вектором состояния системы и ее волновой функцией?
8. Записать в обозначениях Дирака волновую функцию системы в
- представлении и в 
- представлении, если ее вектор состояния 
.9. Изменяется ли среднее значение физической величины при переходе к другому представлению?
10. Записать в матричной форме (в
- представлении) выражение для среднего значения величины, соответствующей оператору .Упражнения
3.1 Найти операторы координаты и импульса в импульсном представлении.
Решение. Для простоты рассматриваем одномерное движение вдоль оси
. В координатном представлении 
, (см §2.7).В импульсном (т.е. в своем собственном) представлении
. Найдем оператор координаты.Способ 1. Воспользуемся тем, что среднее значение физической величины не зависит от используемого представления:
(I)В левой части равенства все величины даны в координатном представлении, в правой – в импульсном. Связь между волновыми функциями в координатном и импульсном представлениях определяется соотношением
,Где
- собственная функция оператора
в координатном представлении. Поэтому 
(II)Подставляем это выражение в левую часть равенства (I):
(III)Множитель
в подынтегральном выражении правой части равенства найдем из соотношения:
.Получаем:
.Пользуясь этим соотношением, преобразуем правую часть равенства (III):
(IV)При интегрировании по
получаем 
,так как
и 
. (Состояние с бесконечно большим импульсом невозможно.) Учитывая этот результат, перепишем равенство (IV): 
(V)Так как
= 
правую часть соотношения (V) можно переписать в виде
Используя свойство
-функции (2.6.3) находим интеграл по 
: 
Учитывая сделанные преобразования, переписываем равенство (V):
Сравнивая это выражении с соотношением (I) получаем
Способ 2. В матричной форме оператор координаты в импульсном представлении является бесконечной непрерывной матрицей с матричными элементами:
Здесь
- собственная функция оператора импульса в координатном представлении 
Подставляя значение функции в формулу для матричного элемента, получаем
Соотношение
показывает как оператор в матричной форме переводит одну функцию в импульсном представлении
в другую 
также в импульсном представлении (См(3.3.6)). Подставляем в правую часть этого соотношения значение матричного элемента и интегрируем по частям: 
Первое слагаемое в правой части равно нулю, поскольку импульс не может быть бесконечно большим. Второе слагаемое преобразовываем, используя свойство
-функции (2.6.3): 
Поэтому
Следовательно, координате
в импульсном представлении соответствует дифференциальный оператор 
4. Задания, для контрольной проверки знаний
I. Проверить, коммутируют ли приведенные ниже операторы?
1.
и 
2.
и 3.
и 
, где 
4.
и 5.
и 
II. Найти операторы, сопряженные с приведенными ниже. Определить какие операторы являются эрмитовыми.
1.
2.
3.
4.
5.
III. Доказать:
1. если операторы
и 
эрмитовы и коммутируют, то оператор 
также эрмитов;2. если операторы
и эрмитовы и некоммутирующие, то оператор 
эрмитов;3. если операторы
и эрмитовы и некоммутирующие, то оператор 
эрмитов;