Элементы теории представлений (стр. 1 из 5)

Элементы теории представлений

1. Основы теории представлений.Различные представления волновой функции (различные представления состояний)

2. Обозначения Дирака

3. Преобразование операторов от одного представления к другому

Введение

Для создания новой физической теории необходимо cформулировать систему постулатов, найти математический аппарат, соответствующий физическому смыслу рассматриваемых проблем и установить связь физических фактов с математическим формализмом.

Для формулировки ньютоновской механики потребовалось развитие дифференциального и интегрального исчисления. В 20-м столетии произошли серьезные изменения в представлениях физиков о математических основах их науки. Закономерности микромира коренным образом отличаются от законов макроскопического мира, объектами которого мы являемся.

Одно из основных понятий квантовой механики – понятие состояния квантово-механической системы. Смысл этого понятия в квантовой и классической физике различен. Содержание понятия состояния квантово-механической системы будет выясняться постепенно в процессе изучения.

Информацию о состоянии системы получают в процессе измерения, т.е. при взаимодействии квантовой системы с макроскопическим прибором. Поэтому результаты измерения характеризуются теми же физическими величинами, которые используются в классической макроскопической физике. Физические величины в квантовой механике часто называют динамическими переменными или наблюдаемыми. В квантовой механике физические величины имеют иную математическую природу, чем в классической, потому что состояния квантово-механической системы и динамические переменные "взаимосвязаны весьма странным образом, который непостижим с классической точки зрения". [1, c31].

В квантовой механике изучаются такие явления, которые не могут быть объяснены с помощью известных ранее понятий. Ведь наш язык – это "слепок с обыденного опыта человека, он никогда не сможет выйти за пределы этого опыта. Классическая физика как раз и ограничивается рассмотрением явлений, которые имеют в языке адекватный словесный эквивалент".[1]

При изучении явлений, происходящих на ином структурном уровне организации материи, на помощь приходит другой язык – математика. "Математика есть орудие, специально приспособленное для овладения всякого рода абстрактными понятиями и в этом отношении ее могущество беспредельно". [1, c13]. "Тем не менее, – считает П. Дирак, – математика есть лишь орудие, и нужно уметь владеть физическими идеями безотносительно к их математической форме". (Там же). Выбор математических методов, адекватных физической сущности задачи, возможно более полное прослеживание аналогий между понятиями и методами математики и физики способствует формированию современного физического мышления. В то же время освоение абстрактных математических объектов возможно только при их реализации физическими объектами.

Для описания квантовых свойств материи может быть использован различный математический аппарат. В 1925г. Вернером Гейзенбергом была создана матричная механика. В этом же году, но немного позже, Э. Шрёдингер создал волновую механику. Он доказал также, что обе формулировки эквивалентны. Наиболее изящная формулировка квантовой механики создана в 1930г английскими физиком П. Дираком. Именно эта формулировка сейчас чаще всего используется. Все формулировки квантовой механики эквивалентны, могут быть преобразованы друг в друга и приводят к одинаковым физическим результатам.

1. Основы теории представлений. Различные представления волновой функции (различные представления состояния)

Состояния квантово-механической системы характеризуется волновой функцией или амплитудой вероятности. Независимые переменные, функцией которой она является, могут быть различными. Например, декартовы координаты системы

,

значения ее импульса

и т. п. Буквы, обозначающие независимые переменные, называют индексом представления. Индекс

волновой функции (в данном случае ) обозначает набор значений физических величин или соответствующих квантовых чисел, которые характеризуют данное состояние. Поэтому этот индекс обычно называют индексом состояния.

Если волновая функция зависит от координат, то описание состояния с помощью такой функции называют координатным представлением. Например, для свободной частицы, движущейся вдоль оси

, в координатном представлении.

Волновую функцию

, характеризующую состояние системы, можно разложить в ряд по собственным функциям оператора динамической переменной . Если этот оператор имеет дискретный спектр собственных значений, т. е.

, то

Коэффициенты разложения определяются из выражения

(Здесь, как и раньше,

– произведение дифференциалов независимых переменных). В § 2.4.2 был выяснен физический смысл этих коэффициентов: есть вероятность того, что в состоянии, описываемым -функцией, физическая величина, представляемая оператором , имеет значение . Таким образом имеет смысл амплитуды вероятности, если независимой переменной является величина . Совокупность амплитуд является волновой функцией в - представлении. Эту совокупность можно представить в виде матрицы с одним столбцом

Если спектр собственных значений оператора непрерывный, то аналогично имеем

Пример 1. Записать скалярное произведение двух функций

и в - представлении.

Компоненты

и в - представлении находим, раскладывая эти функции в ряд по собственным функциям оператора :

, (Ι)

(ΙΙ)

(ΙΙΙ) (ΙV).

Подставляем разложение (Ι) и (ΙΙ) в скалярное произведение функций:

.

Меняя местами знаки суммирования и интегрирования и учитывая ортонормированность собственных функций оператора

получаем:

.

Чтобы получить такое выражение по правилу умножения матриц, следует перемножить матрицу-строку

(V)

на матрицу-столбец (ΙΙΙ):

Матрица (V) транспонирована по отношению к матрице (ΙV) и ее элементы комплексно сопряжены с элементами последней. Такая матрица называется сопряженной с

и обозначается . Таким образом, комплексно сопряженной функции под знаком интеграла соответствует сопряженная матрица.