Автоколебательная система. Волны пластической деформации (стр. 2 из 4)

Для малоуглеродистой стали обнаружен ряд отличий в характере изменения поля дисторсий. В таких материалах отвечающая площадке текучести деформация сопровождается распространением одной или нескольких полос Людерса. В эксперименте, в частности, происходило движение двух полос Людерса во встречном направлении. Основным носителем деформации является фронт полосы, перед ним материал деформирован незначительно. Как показал анализ соответствующего площадке текучести ноля деформации (рис. 1.4а), существуют значительные распределенные волновым образом сдвиги, как за фронтом полосы Людерса, так и перед ним. Величины последних примерно одинаковы, но ярко выраженная цикличность сдвигов, как при деформации Fe+3%Si отсутствует. На зависимости

максимумы разного знака совпадают с положениями фронтов полос Людерса. Как видно из рис. 1.46, при встрече полос (окончание площадки текучести и переход к стадии упрочнения) экстремумы поворотов аннигилируют. В дальнейшем зависимости , принимают вид, подобный наблюдаемому для системы Fe+3%Si (рис. 1.4в).

Рисунок 1.4. — Изменение пространственной части волны деформации при распространении полос Людерса в малоуглеродистой стали (

и - положение фронтов полос во время регистрации спеклограммы, - координата встречи полос Людерса).

фазовый волна пластическая деформация автоколебательная

Для этой стадии деформирования скорость распространения волны v=0.0023 см/с. Указанное значение v соизмеримо со скоростью фронта полосы Людерса, определенной путем киносъемки процесса при освещении скользящим пучком света. Оно на порядок больше скорости подвижного захвата нагружающего устройства. Таким образом, квазистатическая деформация сталей также носит волновой характер. Наблюдаемые волны не являются упругими и их нельзя отождествлять с волнами пластичности Кольского, реализуемыми при ударном нагружении. Это следует из того факта, что волновые процессы последних двух типов характеризуются скоростями распространения которые намного больше скорости обнаруженных в работе Фролова К.В., Панина В.Е., Зуева Л.Б.. Махутова Н.А., Данилова В.И.. Мних Н.М. волн пластической деформации [3]. Приведенные экспериментальные данные показывают, что, по всей видимости, пластические волны образуются в результате самоорганизации элементарных актов пластического течения.

Согласно одному из подходов к объяснению деформационного упрочнения при пластическом течении структурные изменения и перестройки в системе дефектов обусловлены релаксацией напряжений в деформируемом твердом теле. При этом характерная неоднородность поля напряжений и связанная с ней неоднородность пластической деформации говорят о том, что образец является неравновесной системой, в которой происходит диссипация упругой энергии. Последнее явление связано с релаксационными процессами, осуществляемыми на различных структурных уровнях - рождением и движением точечных дефектов, дислокаций, дисклинаций и т.д.

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1 Автоколебательная система «Хищник-жертва»

2.1.1 Постановка задачи

Необходимо получить уравнение с безразмерными величинами, определить координаты особых точек. Найти показатели Ляпунова для особых точек, определить характер их устойчивости. Построить фазовые портреты системы.

2.1.2 Получение уравнений с обезразмеренными величинами.

Исследуемая система уравнений представляет обобщение схемы Лотки-Вольтерра, описывающей экологическую систему «Хищник-жертва». Их уравнения эволюции имеют вид

(2.1)

(2.2)

где n,p – концентрация жертв и хищников соответственно;

, - их характерные времена изменения; - константа аннигиляции жертв; , - постоянные, учитывающие интенсивность поглощения жертв хищниками (все указанные постоянные положительны). Первое слагаемое в правой части (2.1) описывает увеличение концентрации дефектов-жертв под воздействием внешней нагрузки, второе – их аннигиляцию, третье – поглощение дефектами-хищниками. Первый член в части (2.2) представляет автономную регрессию хищников, второй – их рост за счет поглощения жертв.

Введем безразмерные плотности дефектов час

, и время , а также параметры и >1. Тогда система уравнений (2.1), (2.2) принимает вид

(2.3)

. (2.4)

Здесь все величины не имеют размерностей, следовательно, система была вполне успешно обезразмерена.

2.1.3 Определение координат особых точек

Поскольку аналитически получить точные зависимости из системы нелинейных дифференциальных уравнений (2.3), (2.4) не представляется возможным, проведем ее качественное исследование методом фазовой плоскости [4]. Такой анализ дает возможность определить характер фазовых траекторий, совокупность которых с различными начальными координатами определяет фазовый портрет системы. Точный его вид найдем путем численного интегрирования системы уравнений (2.3), (2.4).

Разделив почленно уравнение (2.3) на (2.4), получаем дифференциальное уравнений первой степени

. (2.5)

Используя (2.5), найдем особые точки фазовой плоскости, т.е. точки в которых направление касательной к фазовой траектории не определено. Для этого запишем систему уравнений

:

(2.6)

. (2.7)

Эта линейная система уравнений имеет три решения. Следовательно, имеем три критические точки: О(0,0); S(0,1);F(

.

2.1.4 Нахождение показателей Ляпунова для особых точек. Определение характера особых точек.

1) точка O (0,0). Положим в уравнениях (2.3) и (2.4)

, и приравняем левые части к нулю.

В итоге получим:

= , (2.8)

(2.9)

где проведем линеаризацию, т.е. опустим все нелинейные слагаемые по малым смещениям

и . В результате получим

(2.10)

(2.11)

Условие разрешимости системы имеет вид:

,