Автоколебательная система. Волны пластической деформации (стр. 4 из 4)
, (2.37)то особая точка будет устойчивым фокусом, следовательно, возможны колебания.
Система имеет тенденцию проявлять максимально колебательное поведение во времени при убывании
и возрастании остальных параметров. Максимальное отношение частоты к коэффициенту затухания реализуется в предельных условиях когда 
, а остальные параметры стремятся к бесконечности. Однако даже при таких оптимальных условиях частота не превышает обратного времени затухания. Что значит, что фазовый переход невозможен и волны пластической деформации практически нереализуемы.2.1.6 Построение фазовых портретов
Для построения фазовых портретов были использованы слабый численный метод Рунге-Кутта 4 порядка точности. Среда реализации – математический пакет Matlab. Для получения данных, численно интегрировалась обезразмеренная система дифференциальных уравнений (2.26), (2.27). Полученные результаты изображены на рис. 2.3-2.4
Рисунок 2.3. — Фазовый портрет системы с волнами пластической деформации: типичная картина поведения.
Рисунок 2.4. — Фазовый портрет системы с волнами пластической деформации: оптимальный режим поведения.
ВЫВОД
В данной работе были рассмотрены фазовые переходы в автоколебательной системе «Хищник-Жертва» и в системе с волнами пластической деформации. Для обоих случаев были получены необходимые уравнения в обезразмеренном виде, после чего были определены координаты особых точек, найдены показатели Ляпунова для найденных точек. Был исследован характер особых точек.
В частности для системы «Хищник-Жертва» были найдены три критические точки, две из которых являются седлами, а третья в зависимости от различных значений параметра, может быть либо узлом, либо фокусом. Фокус соответствует режиму колебаний. Следовательно, в системе «Хищник-Жертва» возможны автоколебания.
Для волн пластической деформации найдена всего одна критическая точка, которая является устойчивым фокусом. Было определено, что, не смотря на возможность устоявшегося колебательного режима, волны пластической деформации практически нереализуемы.
После решения были построены фазовые портреты для каждой из систем.
В ходе работы были найдены особые точки и показатели Ляпунова из системы дифференциальных уравнений методом фазовой плоскости. После чего были численно решены эти же системы дифференциальных уравнений и были построены фазовые портреты.
ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК
1. Олемской А.И., Хоменко А.В. Синергетика конденсированной среды: Учебное пособие. – Сумы: Изд-во СумГУ, 2002. – 19-44 с., 373 с.
2. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятности. – М.: Наука, 1988. – 448 с.
3. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з курсу «Моделювання фізичних процесів і систем» / Укладач: Хоменко О.В. – Суми: СумДУ, 2009. – 14с.
4. Методичні вказівки до виконання курсової роботи з курсу «Моделювання фізичних процесів і систем» на тему «Синергетична кінетика плавлення ультра тонкої плівки мастила »/ Укладач: Хоменко О.В. – Суми: СумДУ, 2010. – 4 - 11 с.
ПРИЛОЖЕНИЕ А
Программная реализация построения фазовых портретов волн автоколебательной системы
clear all;
alpha=0.8;
beta=1.1;
f=@(t,y)[-(y(1)/alpha)*(1-beta*y(2));y(2)*(1-y(1)-y(2))];
for i=0:1/5:1,
for j=0:1/5:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;
axis([0 1 0 1]);
pause;
clear all;
alpha=0.8;
beta=10;
f=@(t,y)[-(y(1)/alpha)*(1-beta*y(2));y(2)*(1-y(1)-y(2))];
for i=0:1/2:1,
for j=0:1/2:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;
axis([0 5.5 0 0.6]);
ПРИЛОЖЕНИЕ Б
Программная реализация построения фазовых портретов волн пластической деформации
clear all;
alpha=1; beta=1; gamma=1;
f=@(t,y)[-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2))];
for i=0:1/5:1,
for j=0:1/5:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;
axis([0 1 0 1]);
pause;
clear all;
alpha=20.48;
beta=0.043;
gamma=25;
f=@(t,y)[-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2))];
for i=0:1/5:1,
for j=0:1/5:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;
axis([0 5.5 0 0.6]);
pause;
clear all;
alpha=1;
beta=10;
gamma=1;
f=@(t,y)[-y(1)+alpha*y(2);beta*(1-y(2)-gamma*y(1)*y(2))];
for i=0:1/5:1,
for j=0:1/5:1,
[T,Y]=ode45(f,[0 100],[i j]);
plot(Y(:,1),Y(:,2));
hold on;
end
end
hold off;