Автоколебательная система. Волны пластической деформации (стр. 1 из 4)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

СУМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КАФЕДРА МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ СИСТЕМ

Курсовая работа

по дисциплине

«Моделирование физических процессов и систем

(моделирование стохастических процессов и систем)»

на тему:

«Автоколебательная система. Волны пластической деформации»

Сумы 2010

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1 АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

1.1 Автоколебательная система

1.2 Волны пластической деформации

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1 Автоколебательная система «Хищник-Жертва»

2.1.1 Постановка задачи

2.1.2 Получение уравнений с обезразмеренными величинами

2.1.3 Определение координат особых точек

2.1.4 Нахождение показателей Ляпунова особых точек. Исследование характера их устойчвости

2.1.5 Построение фазовых портретов

2.2 Волны пластической деформации

ВЫВОД

ПЕРЕЧЕНЬ ССЫЛОК

Приложение А

Приложение Б

ВВЕДЕНИЕ

Отчёт по КР: 25 стр., 4 рис., 4 источника.

Объектом исследования являются две системы: автоколебательная система «Хищник-Жертва» и система волн пластической деформации.

Цель работы – при помощи аналитического и численного анализа исследовать системы, обезразмерить их, найти особые точки, определить их вид, построить фазовые портреты.

При выполнении численных расчетов использовался метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

В результате аналитического анализа получаем особые точки систем и определяем их устойчивость.

В ходе работы были получены фазовые портреты для обеих систем.

1. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА И ПЛАСТИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ

1.1 Автоколебательная система

В последние годы при исследовании процесса пластической деформации приобрела популярность синергетичёская концепция. Ее основная идея состоит в том, что гидродинамические степени свободы, ответственные за течение процесса (деформация, напряжения, плотности дефектов), ведут себя не автономным образом, а самосогласованно. На феноменологическом уровне такое поведение отражается дифференциальными уравнениями, содержащими нелинейные слагаемые. Как известно, аналитическое решение таких уравнений в общем случае не представляется возможным, и потому прибегают к их качественному анализу с помощью фазовых портретов. Особенность используемого подхода состоит в том, что мы, не удовлетворяясь описанием качественных особенностей этих портретов, исследуем точный их вид при различных значениях параметров задачи. Очевидно, такая информация может представить интерес при интерпретации конкретных экспериментальных данных. Численное интегрирование систем дифференциальных уравнений проводилось методами Рунге-Кутта низших порядков.

Экспериментальные результаты последних лет показывают возможность периодического изменения дефектной структуры ряда металлов и сплавов. Такие изменения дефектной структуры с увеличением степени деформации проявляются в колебательном характере изменений равноосности и размеров структурных элементов и согласуются с немнонотонностями на кривых упрочнения. Они связываются с появлением коллективных мод в ансамбле сильновзаимодействующих дислокаций, приводящим к проявлению ротационных процессов. Появление немнонтонностей в характеристиках прочности и пластичности обусловлено рядом ротационных неустойчивостей, периодически протекающих при критических значениях степени деформации. Кроме того, пересечение двух систем ротационных полос влечет уменьшение неравноосности фрагментов.

В последние годы предложена модель периодической перестройки дефектной структуры, в основе которой лежит идея о совместной эволюции хаотически распределенных дислокаций и структуры, состоящей из оборванных дислокационных стенок. При этом пластическая деформация осуществляется двумя способами: некоррелированным перемещением отдельных хаотических дислокаций или перемещением диполя частичных дислокаций. Указанные процессы периодически доминируют в релаксации внешних напряжений и приводят к колебаниям упругой деформации.

Существуют два сценария перехода к ротационным структурам в процессе пластической деформации. Согласно первому такой переход реализуется сразу во всем объеме кристалла, согласуясь с постепенным уменьшением ячеек и увеличением разориентировок малоугловых границ за счет дислокаций невозможно. Другие экспериментальные данные говорят о том, что этот переход сначала происходит в локальных областях кристалла и по мере увеличения степени деформации постепенно охватывает весь объем. Происходящая при этом смена типов дефектных структур может осуществляться путем зародышеобразования и, следовательно, близка по своему механизму к фазовому переходу первого рода.

В работе Н.И. Главацкой исследовались структурные превращения при пластической деформации монокристаллов никеля [1]. Было показано, что наблюдаемый характер зависимости микротвердости от степени деформации обусловливается периодической сменой типов дефектных структур. Согласно проведенному исследованию такие структурные преобразования осуществляются принципиально различными способами – эволюционным и инволюционным. Первый из них характеризуется постепенным изменением структурны элементов одного и того же типа – увеличением угла разориентировки структурных элементов, возрастанием плотности дислокаций внутри структурных элементов и в границах. Перестройки морфологически различных типов дефектных структур происходят инволюционным способом. Для него характерно следующее поведение: границы предшествующего типа структуры рассыпаются, а образовавшиеся в результате этого дислокации частично аннигилируют и формируются границы нового типа структуры. Предложена также теоретическая модель, описываются наблюдаемые периодические структурные превращения. Она основана на идее о совместной эволюции хаотических дислокаций, распадающихся границ старой и возникающей границ новой дефектной структур.

1.2 Волны пластической деформации

В процессе пластической деформации и ансамбле дефектов может реализоваться либо циклическое изменение плотностей дефектов, либо автокаталитическое их размножение, приводящее к образованию гидродинамической моды пластического течения. В описанных системах самосогласованное поведение дефектов наблюдалось в условиях монотонно возрастающего или постоянного нагружения, а поле деформации выступало в качестве медленно меняющегося параметра порядка. Рассмотрим теперь более сложный случай, когда колебательный характер имеет изменение самого поля пластической деформации.

Рисунок 1.1. — Кривая деформации кремнистого железа

Экспериментальное исследование такого случая проводили Фролов К.В., Панин В.Е., Зуев Л.Б., Махутов Н.А., Данилов В.И., Мних Н.М. на образцах крупнозернистого (размер зерна 10 мм) кремнистого железа состава Fe+3%Si и малоуглеродистой стали 10Г2Ф (размер зерна 80 мкм) толщиной (0.3-1.5) мм с рабочей частью 10x50. Они подвергались растяжению на жесткой испытательной машине Instron-1185 с постоянной скоростью при комнатной температуре. Кривая деформации сплава Fe+3%Si имеет вид, представленный на рис. 1.1 На ней цифрами I-V указаны отвечающие пластическому течению материала участки, на которых регистрировалось 5-8 спеклограмм. Прирост деформации между фиксациями ближайших спеклограмм составлял 0.2%. Расшифровка спеклограмм позволила найти вектор смещений точек по всей рабочей поверхности образца с шагом 1 мм. По полю смещений стандартным методом определялись компоненты сдвиговой деформации

и поворота (ось x совпадает с направлением приложения нагрузки к образцу, у находится в его плоскости). В результате были построены пространственные зависимости , и зависимости , от интегральной деформации , которые могут быть интерпретированы как временные (рис.1.2-1.3) [2].

Рисунок 1.2. — Распределение локальных сдвигов

и локальных поворотов вдоль оси x образца Fe+3%Si для различных участков кривой нагружения (см. рис.1.1) с приростами общей деформации, %: 0.88-1.08 (а); 1.08-1.28 (б); 1.28-1.48 (в).

Рисунок 1.3. — Зависимость локальных сдвигов

и локальных поворотов вдоль оси x образца Fe+3%Si в точке (см. рис. 1.2) от общей деформации .

Видно, что для образца Fe+3%Si они имеют волновой характер, при этом сдвиги и повороты меняются вдоль осей координат синфазно. С помощью зависимостей

, и , были оценены длина пластической волны , период Т и скорость ее распространения . Они оказались приближенно равными 5±2 мм, 300 с, 0.0015 см/с. Было установлено, что длина волны зависит только от структурных и геометрических параметров образца. Так, при активном растяжении А1 и аморфного сплава величина характеризуется логарифмической зависимостью от размера зерна и линейной – от поперечника образца. В то же время скорость распространения волны v не зависит от размеров образца и зерна, но представляет возрастающую функцию скорости нагружения. Величина v примерно на порядок превышает скорость перемещения подвижного захвата машины.